{l}{5x=4y}{2x+1y=52} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 4 y } \\ { 2 x + 1 y = 52 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=16$$

$$y=20$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 4yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x-4y=0$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. విలువలను క్రమాన్ని మార్చండి.

$$2x+y=52$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$5x-4y=0,2x+y=52$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$5x-4y=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 4yని కూడండి.

$$5x=4y$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{5}\times 4y$$

\frac{1}{5} సార్లు 4yని గుణించండి.

$$x=\frac{4}{5}y$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{4y}{5} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2x+y=52.

$$2\times \frac{4}{5}y+y=52$$

2 సార్లు \frac{4y}{5}ని గుణించండి.

$$\frac{8}{5}y+y=52$$

yకు \frac{8y}{5}ని కూడండి.

$$\frac{13}{5}y=52$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{13}{5}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=20$$

x=\frac{4}{5}yలో yను 20 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{4}{5}\times 20$$

\frac{4}{5} సార్లు 20ని గుణించండి.

$$x=16$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=16,y=20$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 4yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x-4y=0$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. విలువలను క్రమాన్ని మార్చండి.

$$2x+y=52$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$5x-4y=0,2x+y=52$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\52\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-4\\2&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\52\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\52\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\52\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{5-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{5-\left(-4\times 2\right)}&\frac{5}{5-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\52\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{4}{13}\\-\frac{2}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\52\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}\times 52\\\frac{5}{13}\times 52\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\20\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=16,y=20$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 4yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x-4y=0$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. విలువలను క్రమాన్ని మార్చండి.

$$2x+y=52$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$5x-4y=0,2x+y=52$$

5x మరియు 2xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 5తో గుణించండి.

$$2\times 5x+2\left(-4\right)y=0,5\times 2x+5y=5\times 52$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$10x-8y=0,10x+5y=260$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 10x+5y=260ని 10x-8y=0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$10x-10x-8y-5y=-260$$

-10xకు 10xని కూడండి. 10x మరియు -10x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-8y-5y=-260$$

-5yకు -8yని కూడండి.

$$-13y=-260$$

రెండు వైపులా -13తో భాగించండి.

$$y=20$$

2x+y=52లో yను 20 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$2x+20=52$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 20ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x=32$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=16$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=16,y=20$$