{l}{5x+y=19}{2x+y=1} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 19 } \\ { 2 x + y = 1 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=6$$

$$y=-11$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$5x+y=19,2x+y=1$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$5x+y=19$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x=-y+19$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+19\right)$$

\frac{1}{5} సార్లు -y+19ని గుణించండి.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{19}{5}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-y+19}{5} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2x+y=1.

$$2\left(-\frac{1}{5}y+\frac{19}{5}\right)+y=1$$

2 సార్లు \frac{-y+19}{5}ని గుణించండి.

$$-\frac{2}{5}y+\frac{38}{5}+y=1$$

yకు -\frac{2y}{5}ని కూడండి.

$$\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}=1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{38}{5}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{3}{5}y=-\frac{33}{5}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{3}{5}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-11$$

x=-\frac{1}{5}y+\frac{19}{5}లో yను -11 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-11\right)+\frac{19}{5}$$

-\frac{1}{5} సార్లు -11ని గుణించండి.

$$x=\frac{11+19}{5}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{11}{5}కు \frac{19}{5}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=6$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=6,y=-11$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$5x+y=19,2x+y=1$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-2}&-\frac{1}{5-2}\\-\frac{2}{5-2}&\frac{5}{5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 19-\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}\times 19+\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-11\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=6,y=-11$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$5x+y=19,2x+y=1$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 2x+y=1ని 5x+y=19 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x-2x+y-y=19-1$$

-yకు yని కూడండి. y మరియు -y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$5x-2x=19-1$$

-2xకు 5xని కూడండి.

$$3x=19-1$$

-1కు 19ని కూడండి.

$$3x=18$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=6$$

2x+y=1లో xను 6 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$2\times 6+y=1$$

2 సార్లు 6ని గుణించండి.

$$12+y=1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 12ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=-11$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=6,y=-11$$