{l}{5x+6y=19}{x-y=3} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 6 y = 19 } \\ { x - y = 3 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{37}{11} = 3\frac{4}{11} \approx 3.363636364$$

$$y=\frac{4}{11}\approx 0.363636364$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$5x+6y=19,x-y=3$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$5x+6y=19$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 6yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x=-6y+19$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{5}\left(-6y+19\right)$$

\frac{1}{5} సార్లు -6y+19ని గుణించండి.

$$x=-\frac{6}{5}y+\frac{19}{5}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-6y+19}{5} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x-y=3.

$$-\frac{6}{5}y+\frac{19}{5}-y=3$$

-yకు -\frac{6y}{5}ని కూడండి.

$$-\frac{11}{5}y+\frac{19}{5}=3$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{19}{5}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{11}{5}y=-\frac{4}{5}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{11}{5}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{4}{11}$$

x=-\frac{6}{5}y+\frac{19}{5}లో yను \frac{4}{11} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{6}{5}\times \frac{4}{11}+\frac{19}{5}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{6}{5} సార్లు \frac{4}{11}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{24}{55}+\frac{19}{5}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{24}{55}కు \frac{19}{5}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{37}{11}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{37}{11},y=\frac{4}{11}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$5x+6y=19,x-y=3$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}5&6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&6\\1&-1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\3\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\3\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-6}&-\frac{6}{5\left(-1\right)-6}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-6}&\frac{5}{5\left(-1\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\3\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{6}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\3\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 19+\frac{6}{11}\times 3\\\frac{1}{11}\times 19-\frac{5}{11}\times 3\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{37}{11}\\\frac{4}{11}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{37}{11},y=\frac{4}{11}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$5x+6y=19,x-y=3$$

5x మరియు xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 5తో గుణించండి.

$$5x+6y=19,5x+5\left(-1\right)y=5\times 3$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$5x+6y=19,5x-5y=15$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 5x-5y=15ని 5x+6y=19 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x-5x+6y+5y=19-15$$

-5xకు 5xని కూడండి. 5x మరియు -5x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$6y+5y=19-15$$

5yకు 6yని కూడండి.

$$11y=19-15$$

-15కు 19ని కూడండి.

$$11y=4$$

రెండు వైపులా 11తో భాగించండి.

$$y=\frac{4}{11}$$

x-y=3లో yను \frac{4}{11} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x-\frac{4}{11}=3$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{4}{11}ని కూడండి.

$$x=\frac{37}{11}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{37}{11},y=\frac{4}{11}$$