{l}{5x+3y=7}{2x+4y=9} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 7 } \\ { 2 x + 4 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=\frac{1}{14}\approx 0.071428571$$

$$y = \frac{31}{14} = 2\frac{3}{14} \approx 2.214285714$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$5x+3y=7,2x+4y=9$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$5x+3y=7$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x=-3y+7$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+7\right)$$

\frac{1}{5} సార్లు -3y+7ని గుణించండి.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-3y+7}{5} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2x+4y=9.

$$2\left(-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}\right)+4y=9$$

2 సార్లు \frac{-3y+7}{5}ని గుణించండి.

$$-\frac{6}{5}y+\frac{14}{5}+4y=9$$

4yకు -\frac{6y}{5}ని కూడండి.

$$\frac{14}{5}y+\frac{14}{5}=9$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{14}{5}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{14}{5}y=\frac{31}{5}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{14}{5}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{31}{14}$$

x=-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}లో yను \frac{31}{14} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{31}{14}+\frac{7}{5}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{3}{5} సార్లు \frac{31}{14}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{93}{70}+\frac{7}{5}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{93}{70}కు \frac{7}{5}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{1}{14}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{1}{14},y=\frac{31}{14}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$5x+3y=7,2x+4y=9$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&3\\2&4\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-3\times 2}&-\frac{3}{5\times 4-3\times 2}\\-\frac{2}{5\times 4-3\times 2}&\frac{5}{5\times 4-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{3}{14}\\-\frac{1}{7}&\frac{5}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 7-\frac{3}{14}\times 9\\-\frac{1}{7}\times 7+\frac{5}{14}\times 9\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\\\frac{31}{14}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{1}{14},y=\frac{31}{14}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$5x+3y=7,2x+4y=9$$

5x మరియు 2xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 5తో గుణించండి.

$$2\times 5x+2\times 3y=2\times 7,5\times 2x+5\times 4y=5\times 9$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$10x+6y=14,10x+20y=45$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 10x+20y=45ని 10x+6y=14 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$10x-10x+6y-20y=14-45$$

-10xకు 10xని కూడండి. 10x మరియు -10x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$6y-20y=14-45$$

-20yకు 6yని కూడండి.

$$-14y=14-45$$

-45కు 14ని కూడండి.

$$-14y=-31$$

రెండు వైపులా -14తో భాగించండి.

$$y=\frac{31}{14}$$

2x+4y=9లో yను \frac{31}{14} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$2x+4\times \frac{31}{14}=9$$

4 సార్లు \frac{31}{14}ని గుణించండి.

$$2x+\frac{62}{7}=9$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{62}{7}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x=\frac{1}{7}$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{14}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{1}{14},y=\frac{31}{14}$$