{l}{5x+3y=30}{3x+3y=18} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 30 } \\ { 3 x + 3 y = 18 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=6$$

$$y=0$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$5x+3y=30,3x+3y=18$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$5x+3y=30$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x=-3y+30$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+30\right)$$

\frac{1}{5} సార్లు -3y+30ని గుణించండి.

$$x=-\frac{3}{5}y+6$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{3y}{5}+6 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 3x+3y=18.

$$3\left(-\frac{3}{5}y+6\right)+3y=18$$

3 సార్లు -\frac{3y}{5}+6ని గుణించండి.

$$-\frac{9}{5}y+18+3y=18$$

3yకు -\frac{9y}{5}ని కూడండి.

$$\frac{6}{5}y+18=18$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 18ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{6}{5}y=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{6}{5}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=0$$

x=-\frac{3}{5}y+6లో yను 0 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=6$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=6,y=0$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$5x+3y=30,3x+3y=18$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-3\times 3}&-\frac{3}{5\times 3-3\times 3}\\-\frac{3}{5\times 3-3\times 3}&\frac{5}{5\times 3-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 30-\frac{1}{2}\times 18\\-\frac{1}{2}\times 30+\frac{5}{6}\times 18\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=6,y=0$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$5x+3y=30,3x+3y=18$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 3x+3y=18ని 5x+3y=30 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x-3x+3y-3y=30-18$$

-3yకు 3yని కూడండి. 3y మరియు -3y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$5x-3x=30-18$$

-3xకు 5xని కూడండి.

$$2x=30-18$$

-18కు 30ని కూడండి.

$$2x=12$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=6$$

3x+3y=18లో xను 6 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$3\times 6+3y=18$$

3 సార్లు 6ని గుణించండి.

$$18+3y=18$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 18ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3y=0$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$y=0$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=6,y=0$$