{l}{5u+x=-10}{3u+3x=0} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 5 u + x = - 10 } \\ { 3 u + 3 x = 0 } \end{array} \right.$$

u, xని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$u = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$5u+x=-10,3u+3x=0$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న uని వేరు చేయడం ద్వారా uని పరిష్కరించండి.

$$5u+x=-10$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5u=-x-10$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$u=\frac{1}{5}\left(-x-10\right)$$

\frac{1}{5} సార్లు -x-10ని గుణించండి.

$$u=-\frac{1}{5}x-2$$

మరొక సమీకరణములో uను -\frac{x}{5}-2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 3u+3x=0.

$$3\left(-\frac{1}{5}x-2\right)+3x=0$$

3 సార్లు -\frac{x}{5}-2ని గుణించండి.

$$-\frac{3}{5}x-6+3x=0$$

3xకు -\frac{3x}{5}ని కూడండి.

$$\frac{12}{5}x-6=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 6ని కూడండి.

$$\frac{12}{5}x=6$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{12}{5}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$x=\frac{5}{2}$$

u=-\frac{1}{5}x-2లో xను \frac{5}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు uని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$u=-\frac{1}{5}\times \frac{5}{2}-2$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{1}{5} సార్లు \frac{5}{2}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$u=-\frac{1}{2}-2$$

-\frac{1}{2}కు -2ని కూడండి.

$$u=-\frac{5}{2}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$u=-\frac{5}{2},x=\frac{5}{2}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$5u+x=-10,3u+3x=0$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-3}&-\frac{1}{5\times 3-3}\\-\frac{3}{5\times 3-3}&\frac{5}{5\times 3-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{12}\\-\frac{1}{4}&\frac{5}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-10\right)\\-\frac{1}{4}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

u మరియు x మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$u=-\frac{5}{2},x=\frac{5}{2}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$5u+x=-10,3u+3x=0$$

5u మరియు 3uని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 5తో గుణించండి.

$$3\times 5u+3x=3\left(-10\right),5\times 3u+5\times 3x=0$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$15u+3x=-30,15u+15x=0$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 15u+15x=0ని 15u+3x=-30 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$15u-15u+3x-15x=-30$$

-15uకు 15uని కూడండి. 15u మరియు -15u విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$3x-15x=-30$$

-15xకు 3xని కూడండి.

$$-12x=-30$$

రెండు వైపులా -12తో భాగించండి.

$$x=\frac{5}{2}$$

3u+3x=0లో xను \frac{5}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు uని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$3u+3\times \frac{5}{2}=0$$

3 సార్లు \frac{5}{2}ని గుణించండి.

$$3u+\frac{15}{2}=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{15}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3u=-\frac{15}{2}$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$u=-\frac{5}{2}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$u=-\frac{5}{2},x=\frac{5}{2}$$