{l}{5a+3b=5}{4a+7b=27} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 5 a + 3 b = 5 } \\ { 4 a + 7 b = 27 } \end{array} \right.$$

a, bని పరిష్కరించండి

$$a=-2$$

$$b=5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$5a+3b=5,4a+7b=27$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న aని వేరు చేయడం ద్వారా aని పరిష్కరించండి.

$$5a+3b=5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3bని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5a=-3b+5$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$a=\frac{1}{5}\left(-3b+5\right)$$

\frac{1}{5} సార్లు -3b+5ని గుణించండి.

$$a=-\frac{3}{5}b+1$$

మరొక సమీకరణములో aను -\frac{3b}{5}+1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 4a+7b=27.

$$4\left(-\frac{3}{5}b+1\right)+7b=27$$

4 సార్లు -\frac{3b}{5}+1ని గుణించండి.

$$-\frac{12}{5}b+4+7b=27$$

7bకు -\frac{12b}{5}ని కూడండి.

$$\frac{23}{5}b+4=27$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 4ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{23}{5}b=23$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{23}{5}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$b=5$$

a=-\frac{3}{5}b+1లో bను 5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు aని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$a=-\frac{3}{5}\times 5+1$$

-\frac{3}{5} సార్లు 5ని గుణించండి.

$$a=-3+1$$

-3కు 1ని కూడండి.

$$a=-2$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$a=-2,b=5$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$5a+3b=5,4a+7b=27$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-3\times 4}&-\frac{3}{5\times 7-3\times 4}\\-\frac{4}{5\times 7-3\times 4}&\frac{5}{5\times 7-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}&-\frac{3}{23}\\-\frac{4}{23}&\frac{5}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}\times 5-\frac{3}{23}\times 27\\-\frac{4}{23}\times 5+\frac{5}{23}\times 27\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\5\end{matrix}\right)$$

a మరియు b మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$a=-2,b=5$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$5a+3b=5,4a+7b=27$$

5a మరియు 4aని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 5తో గుణించండి.

$$4\times 5a+4\times 3b=4\times 5,5\times 4a+5\times 7b=5\times 27$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$20a+12b=20,20a+35b=135$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 20a+35b=135ని 20a+12b=20 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$20a-20a+12b-35b=20-135$$

-20aకు 20aని కూడండి. 20a మరియు -20a విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$12b-35b=20-135$$

-35bకు 12bని కూడండి.

$$-23b=20-135$$

-135కు 20ని కూడండి.

$$-23b=-115$$

రెండు వైపులా -23తో భాగించండి.

$$b=5$$

4a+7b=27లో bను 5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు aని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$4a+7\times 5=27$$

7 సార్లు 5ని గుణించండి.

$$4a+35=27$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 35ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4a=-8$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$a=-2$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$a=-2,b=5$$