{l}{5a+25b=99}{25a+165b=523} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 5 a + 25 b = 99 } \\ { 25 a + 165 b = 523 } \end{array} \right.$$

a, bని పరిష్కరించండి

$$a = \frac{163}{10} = 16\frac{3}{10} = 16.3$$

$$b=\frac{7}{10}=0.7$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$5a+25b=99,25a+165b=523$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న aని వేరు చేయడం ద్వారా aని పరిష్కరించండి.

$$5a+25b=99$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 25bని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5a=-25b+99$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$a=\frac{1}{5}\left(-25b+99\right)$$

\frac{1}{5} సార్లు -25b+99ని గుణించండి.

$$a=-5b+\frac{99}{5}$$

మరొక సమీకరణములో aను -5b+\frac{99}{5} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 25a+165b=523.

$$25\left(-5b+\frac{99}{5}\right)+165b=523$$

25 సార్లు -5b+\frac{99}{5}ని గుణించండి.

$$-125b+495+165b=523$$

165bకు -125bని కూడండి.

$$40b+495=523$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 495ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$40b=28$$

రెండు వైపులా 40తో భాగించండి.

$$b=\frac{7}{10}$$

a=-5b+\frac{99}{5}లో bను \frac{7}{10} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు aని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$a=-5\times \frac{7}{10}+\frac{99}{5}$$

-5 సార్లు \frac{7}{10}ని గుణించండి.

$$a=-\frac{7}{2}+\frac{99}{5}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{7}{2}కు \frac{99}{5}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$a=\frac{163}{10}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$a=\frac{163}{10},b=\frac{7}{10}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$5a+25b=99,25a+165b=523$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}99\\523\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}99\\523\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}99\\523\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}99\\523\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{165}{5\times 165-25\times 25}&-\frac{25}{5\times 165-25\times 25}\\-\frac{25}{5\times 165-25\times 25}&\frac{5}{5\times 165-25\times 25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}99\\523\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{40}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{8}&\frac{1}{40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}99\\523\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{40}\times 99-\frac{1}{8}\times 523\\-\frac{1}{8}\times 99+\frac{1}{40}\times 523\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{163}{10}\\\frac{7}{10}\end{matrix}\right)$$

a మరియు b మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$a=\frac{163}{10},b=\frac{7}{10}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$5a+25b=99,25a+165b=523$$

5a మరియు 25aని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 25తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 5తో గుణించండి.

$$25\times 5a+25\times 25b=25\times 99,5\times 25a+5\times 165b=5\times 523$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$125a+625b=2475,125a+825b=2615$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 125a+825b=2615ని 125a+625b=2475 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$125a-125a+625b-825b=2475-2615$$

-125aకు 125aని కూడండి. 125a మరియు -125a విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$625b-825b=2475-2615$$

-825bకు 625bని కూడండి.

$$-200b=2475-2615$$

-2615కు 2475ని కూడండి.

$$-200b=-140$$

రెండు వైపులా -200తో భాగించండి.

$$b=\frac{7}{10}$$

25a+165b=523లో bను \frac{7}{10} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు aని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$25a+165\times \frac{7}{10}=523$$

165 సార్లు \frac{7}{10}ని గుణించండి.

$$25a+\frac{231}{2}=523$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{231}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$25a=\frac{815}{2}$$

రెండు వైపులా 25తో భాగించండి.

$$a=\frac{163}{10}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$a=\frac{163}{10},b=\frac{7}{10}$$