{l}{45+.25x=y}{35+.30x=y} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 45 + .25 x = y } \\ { 35 + .30 x = y } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=200$$

$$y=95$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$45+0.25x-y=0$$

రెండు భాగాల నుండి 45ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$0.25x-y=-45$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$35+0.3x-y=0$$

రెండు భాగాల నుండి 35ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$0.3x-y=-35$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$0.25x-y=-45,0.3x-y=-35$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$0.25x-y=-45$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా yని కూడండి.

$$0.25x=y-45$$

రెండు వైపులా 4తో గుణించండి.

$$x=4\left(y-45\right)$$

4 సార్లు y-45ని గుణించండి.

$$x=4y-180$$

మరొక సమీకరణములో xను -180+4y స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 0.3x-y=-35.

$$0.3\left(4y-180\right)-y=-35$$

0.3 సార్లు -180+4yని గుణించండి.

$$1.2y-54-y=-35$$

-yకు \frac{6y}{5}ని కూడండి.

$$0.2y-54=-35$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 54ని కూడండి.

$$0.2y=19$$

రెండు వైపులా 5తో గుణించండి.

$$y=95$$

x=4y-180లో yను 95 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=4\times 95-180$$

4 సార్లు 95ని గుణించండి.

$$x=380-180$$

380కు -180ని కూడండి.

$$x=200$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=200,y=95$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$45+0.25x-y=0$$

రెండు భాగాల నుండి 45ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$0.25x-y=-45$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$35+0.3x-y=0$$

రెండు భాగాల నుండి 35ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$0.3x-y=-35$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$0.25x-y=-45,0.3x-y=-35$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}&-\frac{-1}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}\\-\frac{0.3}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}&\frac{0.25}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20&20\\-6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20\left(-45\right)+20\left(-35\right)\\-6\left(-45\right)+5\left(-35\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\95\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=200,y=95$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$45+0.25x-y=0$$

రెండు భాగాల నుండి 45ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$0.25x-y=-45$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$35+0.3x-y=0$$

రెండు భాగాల నుండి 35ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$0.3x-y=-35$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$0.25x-y=-45,0.3x-y=-35$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 0.3x-y=-35ని 0.25x-y=-45 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$0.25x-0.3x-y+y=-45+35$$

yకు -yని కూడండి. -y మరియు y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$0.25x-0.3x=-45+35$$

-\frac{3x}{10}కు \frac{x}{4}ని కూడండి.

$$-0.05x=-45+35$$

35కు -45ని కూడండి.

$$-0.05x=-10$$

రెండు వైపులా -20తో గుణించండి.

$$x=200$$

0.3x-y=-35లో xను 200 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$0.3\times 200-y=-35$$

0.3 సార్లు 200ని గుణించండి.

$$60-y=-35$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 60ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-y=-95$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$y=95$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=200,y=95$$