{l}{40x+30y=500}{60x+15y=60} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 40 x + 30 y = 500 } \\ { 60 x + 15 y = 60 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{19}{4} = -4\frac{3}{4} = -4.75$$

$$y=23$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$40x+30y=500,60x+15y=60$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$40x+30y=500$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 30yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$40x=-30y+500$$

రెండు వైపులా 40తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{40}\left(-30y+500\right)$$

\frac{1}{40} సార్లు -30y+500ని గుణించండి.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{3y}{4}+\frac{25}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 60x+15y=60.

$$60\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}\right)+15y=60$$

60 సార్లు -\frac{3y}{4}+\frac{25}{2}ని గుణించండి.

$$-45y+750+15y=60$$

15yకు -45yని కూడండి.

$$-30y+750=60$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 750ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-30y=-690$$

రెండు వైపులా -30తో భాగించండి.

$$y=23$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}లో yను 23 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{3}{4}\times 23+\frac{25}{2}$$

-\frac{3}{4} సార్లు 23ని గుణించండి.

$$x=-\frac{69}{4}+\frac{25}{2}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{69}{4}కు \frac{25}{2}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{19}{4}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{19}{4},y=23$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$40x+30y=500,60x+15y=60$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-30\times 60}&-\frac{30}{40\times 15-30\times 60}\\-\frac{60}{40\times 15-30\times 60}&\frac{40}{40\times 15-30\times 60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{40}\\\frac{1}{20}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 500+\frac{1}{40}\times 60\\\frac{1}{20}\times 500-\frac{1}{30}\times 60\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{4}\\23\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-\frac{19}{4},y=23$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$40x+30y=500,60x+15y=60$$

40x మరియు 60xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 60తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 40తో గుణించండి.

$$60\times 40x+60\times 30y=60\times 500,40\times 60x+40\times 15y=40\times 60$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$2400x+1800y=30000,2400x+600y=2400$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 2400x+600y=2400ని 2400x+1800y=30000 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2400x-2400x+1800y-600y=30000-2400$$

-2400xకు 2400xని కూడండి. 2400x మరియు -2400x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$1800y-600y=30000-2400$$

-600yకు 1800yని కూడండి.

$$1200y=30000-2400$$

-2400కు 30000ని కూడండి.

$$1200y=27600$$

రెండు వైపులా 1200తో భాగించండి.

$$y=23$$

60x+15y=60లో yను 23 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$60x+15\times 23=60$$

15 సార్లు 23ని గుణించండి.

$$60x+345=60$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 345ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$60x=-285$$

రెండు వైపులా 60తో భాగించండి.

$$x=-\frac{19}{4}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{19}{4},y=23$$