{l}{4x-2y=11}{-5x+3y=-19} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 2 y = 11 } \\ { - 5 x + 3 y = - 19 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = -\frac{21}{2} = -10\frac{1}{2} = -10.5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$4x-2y=11,-5x+3y=-19$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$4x-2y=11$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2yని కూడండి.

$$4x=2y+11$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+11\right)$$

\frac{1}{4} సార్లు 2y+11ని గుణించండి.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{11}{4}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{y}{2}+\frac{11}{4} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -5x+3y=-19.

$$-5\left(\frac{1}{2}y+\frac{11}{4}\right)+3y=-19$$

-5 సార్లు \frac{y}{2}+\frac{11}{4}ని గుణించండి.

$$-\frac{5}{2}y-\frac{55}{4}+3y=-19$$

3yకు -\frac{5y}{2}ని కూడండి.

$$\frac{1}{2}y-\frac{55}{4}=-19$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{55}{4}ని కూడండి.

$$\frac{1}{2}y=-\frac{21}{4}$$

రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$y=-\frac{21}{2}$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{11}{4}లో yను -\frac{21}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{21}{2}\right)+\frac{11}{4}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{1}{2} సార్లు -\frac{21}{2}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{-21+11}{4}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{21}{4}కు \frac{11}{4}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{5}{2}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{21}{2}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$4x-2y=11,-5x+3y=-19$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-2\\-5&3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-19\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-19\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\left(-5\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{4\times 3-\left(-2\left(-5\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-19\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\\frac{5}{2}&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-19\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 11-19\\\frac{5}{2}\times 11+2\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\-\frac{21}{2}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{21}{2}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$4x-2y=11,-5x+3y=-19$$

4x మరియు -5xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -5తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి.

$$-5\times 4x-5\left(-2\right)y=-5\times 11,4\left(-5\right)x+4\times 3y=4\left(-19\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-20x+10y=-55,-20x+12y=-76$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -20x+12y=-76ని -20x+10y=-55 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-20x+20x+10y-12y=-55+76$$

20xకు -20xని కూడండి. -20x మరియు 20x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$10y-12y=-55+76$$

-12yకు 10yని కూడండి.

$$-2y=-55+76$$

76కు -55ని కూడండి.

$$-2y=21$$

రెండు వైపులా -2తో భాగించండి.

$$y=-\frac{21}{2}$$

-5x+3y=-19లో yను -\frac{21}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-5x+3\left(-\frac{21}{2}\right)=-19$$

3 సార్లు -\frac{21}{2}ని గుణించండి.

$$-5x-\frac{63}{2}=-19$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{63}{2}ని కూడండి.

$$-5x=\frac{25}{2}$$

రెండు వైపులా -5తో భాగించండి.

$$x=-\frac{5}{2}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{21}{2}$$