{l}{4x-2y+4=0}{-4x+3y-3=0} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 2 y + 4 = 0 } \\ { - 4 x + 3 y - 3 = 0 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$y=-1$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$4x-2y+4=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 4ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x-2y=-4$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2yని కూడండి.

$$4x=2y-4$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-4\right)$$

\frac{1}{4} సార్లు -4+2yని గుణించండి.

$$x=\frac{1}{2}y-1$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{y}{2}-1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -4x+3y-3=0.

$$-4\left(\frac{1}{2}y-1\right)+3y-3=0$$

-4 సార్లు \frac{y}{2}-1ని గుణించండి.

$$-2y+4+3y-3=0$$

3yకు -2yని కూడండి.

$$y+4-3=0$$

-3కు 4ని కూడండి.

$$y+1=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 1ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=-1$$

x=\frac{1}{2}y-1లో yను -1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)-1$$

\frac{1}{2} సార్లు -1ని గుణించండి.

$$x=-\frac{1}{2}-1$$

-\frac{1}{2}కు -1ని కూడండి.

$$x=-\frac{3}{2}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాత్రికకు సంబంధించి \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), విలోమ మాత్రిక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) అయితే, మాత్రిక సమీకరణాన్ని మాత్రిక గుణాకార సమస్య వలె తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\times 3\\-4+3\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

4x మరియు -4xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -4తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి.

$$-4\times 4x-4\left(-2\right)y-4\times 4=0,4\left(-4\right)x+4\times 3y+4\left(-3\right)=0$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-16x+8y-16=0,-16x+12y-12=0$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -16x+12y-12=0ని -16x+8y-16=0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-16x+16x+8y-12y-16+12=0$$

16xకు -16xని కూడండి. -16x మరియు 16x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$8y-12y-16+12=0$$

-12yకు 8yని కూడండి.

$$-4y-16+12=0$$

12కు -16ని కూడండి.

$$-4y-4=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 4ని కూడండి.

$$-4y=4$$

రెండు వైపులా -4తో భాగించండి.

$$y=-1$$

-4x+3y-3=0లో yను -1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-4x+3\left(-1\right)-3=0$$

3 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$-4x-3-3=0$$

-3కు -3ని కూడండి.

$$-4x-6=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 6ని కూడండి.

$$-4x=6$$

రెండు వైపులా -4తో భాగించండి.

$$x=-\frac{3}{2}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$