{l}{4x+y=15}{5y+19x=30} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 15 } \\ { 5 y + 19 x = 30 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=45$$

$$y=-165$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$4x+y=15$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x=-y+15$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+15\right)$$

\frac{1}{4} సార్లు -y+15ని గుణించండి.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-y+15}{4} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 19x+5y=30.

$$19\left(-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}\right)+5y=30$$

19 సార్లు \frac{-y+15}{4}ని గుణించండి.

$$-\frac{19}{4}y+\frac{285}{4}+5y=30$$

5yకు -\frac{19y}{4}ని కూడండి.

$$\frac{1}{4}y+\frac{285}{4}=30$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{285}{4}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{165}{4}$$

రెండు వైపులా 4తో గుణించండి.

$$y=-165$$

x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}లో yను -165 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-165\right)+\frac{15}{4}$$

-\frac{1}{4} సార్లు -165ని గుణించండి.

$$x=\frac{165+15}{4}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{165}{4}కు \frac{15}{4}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=45$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=45,y=-165$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-19}&-\frac{1}{4\times 5-19}\\-\frac{19}{4\times 5-19}&\frac{4}{4\times 5-19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-1\\-19&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 15-30\\-19\times 15+4\times 30\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-165\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=45,y=-165$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

4x మరియు 19xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 19తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి.

$$19\times 4x+19y=19\times 15,4\times 19x+4\times 5y=4\times 30$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$76x+19y=285,76x+20y=120$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 76x+20y=120ని 76x+19y=285 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$76x-76x+19y-20y=285-120$$

-76xకు 76xని కూడండి. 76x మరియు -76x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$19y-20y=285-120$$

-20yకు 19yని కూడండి.

$$-y=285-120$$

-120కు 285ని కూడండి.

$$-y=165$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$y=-165$$

19x+5y=30లో yను -165 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$19x+5\left(-165\right)=30$$

5 సార్లు -165ని గుణించండి.

$$19x-825=30$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 825ని కూడండి.

$$19x=855$$

రెండు వైపులా 19తో భాగించండి.

$$x=45$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=45,y=-165$$