{l}{4x+9y=-21}{3x+4y=-13} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 9 y = - 21 } \\ { 3 x + 4 y = - 13 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-3$$

$$y=-1$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$4x+9y=-21,3x+4y=-13$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$4x+9y=-21$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 9yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x=-9y-21$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{4}\left(-9y-21\right)$$

\frac{1}{4} సార్లు -9y-21ని గుణించండి.

$$x=-\frac{9}{4}y-\frac{21}{4}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-9y-21}{4} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 3x+4y=-13.

$$3\left(-\frac{9}{4}y-\frac{21}{4}\right)+4y=-13$$

3 సార్లు \frac{-9y-21}{4}ని గుణించండి.

$$-\frac{27}{4}y-\frac{63}{4}+4y=-13$$

4yకు -\frac{27y}{4}ని కూడండి.

$$-\frac{11}{4}y-\frac{63}{4}=-13$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{63}{4}ని కూడండి.

$$-\frac{11}{4}y=\frac{11}{4}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{11}{4}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-1$$

x=-\frac{9}{4}y-\frac{21}{4}లో yను -1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{9}{4}\left(-1\right)-\frac{21}{4}$$

-\frac{9}{4} సార్లు -1ని గుణించండి.

$$x=\frac{9-21}{4}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{9}{4}కు -\frac{21}{4}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-3$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-3,y=-1$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$4x+9y=-21,3x+4y=-13$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-9\times 3}&-\frac{9}{4\times 4-9\times 3}\\-\frac{3}{4\times 4-9\times 3}&\frac{4}{4\times 4-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}&\frac{9}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}\left(-21\right)+\frac{9}{11}\left(-13\right)\\\frac{3}{11}\left(-21\right)-\frac{4}{11}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-3,y=-1$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$4x+9y=-21,3x+4y=-13$$

4x మరియు 3xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి.

$$3\times 4x+3\times 9y=3\left(-21\right),4\times 3x+4\times 4y=4\left(-13\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$12x+27y=-63,12x+16y=-52$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 12x+16y=-52ని 12x+27y=-63 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$12x-12x+27y-16y=-63+52$$

-12xకు 12xని కూడండి. 12x మరియు -12x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$27y-16y=-63+52$$

-16yకు 27yని కూడండి.

$$11y=-63+52$$

52కు -63ని కూడండి.

$$11y=-11$$

రెండు వైపులా 11తో భాగించండి.

$$y=-1$$

3x+4y=-13లో yను -1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$3x+4\left(-1\right)=-13$$

4 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$3x-4=-13$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 4ని కూడండి.

$$3x=-9$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=-3$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-3,y=-1$$