{l}{4x+8y=64}{2x-8y=86} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 8 y = 64 } \\ { 2 x - 8 y = 86 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=25$$

$$y = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$4x+8y=64,2x-8y=86$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$4x+8y=64$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 8yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x=-8y+64$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{4}\left(-8y+64\right)$$

\frac{1}{4} సార్లు -8y+64ని గుణించండి.

$$x=-2y+16$$

మరొక సమీకరణములో xను -2y+16 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2x-8y=86.

$$2\left(-2y+16\right)-8y=86$$

2 సార్లు -2y+16ని గుణించండి.

$$-4y+32-8y=86$$

-8yకు -4yని కూడండి.

$$-12y+32=86$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 32ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-12y=54$$

రెండు వైపులా -12తో భాగించండి.

$$y=-\frac{9}{2}$$

x=-2y+16లో yను -\frac{9}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-2\left(-\frac{9}{2}\right)+16$$

-2 సార్లు -\frac{9}{2}ని గుణించండి.

$$x=9+16$$

9కు 16ని కూడండి.

$$x=25$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=25,y=-\frac{9}{2}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$4x+8y=64,2x-8y=86$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}4&8\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\86\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&8\\2&-8\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&8\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\86\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\86\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\86\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{4\left(-8\right)-8\times 2}&-\frac{8}{4\left(-8\right)-8\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-8\right)-8\times 2}&\frac{4}{4\left(-8\right)-8\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\86\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{24}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\86\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 64+\frac{1}{6}\times 86\\\frac{1}{24}\times 64-\frac{1}{12}\times 86\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\-\frac{9}{2}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=25,y=-\frac{9}{2}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$4x+8y=64,2x-8y=86$$

4x మరియు 2xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి.

$$2\times 4x+2\times 8y=2\times 64,4\times 2x+4\left(-8\right)y=4\times 86$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$8x+16y=128,8x-32y=344$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 8x-32y=344ని 8x+16y=128 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$8x-8x+16y+32y=128-344$$

-8xకు 8xని కూడండి. 8x మరియు -8x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$16y+32y=128-344$$

32yకు 16yని కూడండి.

$$48y=128-344$$

-344కు 128ని కూడండి.

$$48y=-216$$

రెండు వైపులా 48తో భాగించండి.

$$y=-\frac{9}{2}$$

2x-8y=86లో yను -\frac{9}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$2x-8\left(-\frac{9}{2}\right)=86$$

-8 సార్లు -\frac{9}{2}ని గుణించండి.

$$2x+36=86$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 36ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x=50$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=25$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=25,y=-\frac{9}{2}$$