{l}{4x+7y=2}{5x+6y=4} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 7 y = 2 } \\ { 5 x + 6 y = 4 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{16}{11} = 1\frac{5}{11} \approx 1.454545455$$

$$y=-\frac{6}{11}\approx -0.545454545$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$4x+7y=2,5x+6y=4$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$4x+7y=2$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 7yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x=-7y+2$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{4}\left(-7y+2\right)$$

\frac{1}{4} సార్లు -7y+2ని గుణించండి.

$$x=-\frac{7}{4}y+\frac{1}{2}$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{7y}{4}+\frac{1}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 5x+6y=4.

$$5\left(-\frac{7}{4}y+\frac{1}{2}\right)+6y=4$$

5 సార్లు -\frac{7y}{4}+\frac{1}{2}ని గుణించండి.

$$-\frac{35}{4}y+\frac{5}{2}+6y=4$$

6yకు -\frac{35y}{4}ని కూడండి.

$$-\frac{11}{4}y+\frac{5}{2}=4$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{5}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{11}{4}y=\frac{3}{2}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{11}{4}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-\frac{6}{11}$$

x=-\frac{7}{4}y+\frac{1}{2}లో yను -\frac{6}{11} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{7}{4}\left(-\frac{6}{11}\right)+\frac{1}{2}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{7}{4} సార్లు -\frac{6}{11}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{21}{22}+\frac{1}{2}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{21}{22}కు \frac{1}{2}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{16}{11}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{6}{11}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$4x+7y=2,5x+6y=4$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-7\times 5}&-\frac{7}{4\times 6-7\times 5}\\-\frac{5}{4\times 6-7\times 5}&\frac{4}{4\times 6-7\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{11}&\frac{7}{11}\\\frac{5}{11}&-\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{11}\times 2+\frac{7}{11}\times 4\\\frac{5}{11}\times 2-\frac{4}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{11}\\-\frac{6}{11}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{6}{11}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$4x+7y=2,5x+6y=4$$

4x మరియు 5xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 5తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి.

$$5\times 4x+5\times 7y=5\times 2,4\times 5x+4\times 6y=4\times 4$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$20x+35y=10,20x+24y=16$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 20x+24y=16ని 20x+35y=10 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$20x-20x+35y-24y=10-16$$

-20xకు 20xని కూడండి. 20x మరియు -20x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$35y-24y=10-16$$

-24yకు 35yని కూడండి.

$$11y=10-16$$

-16కు 10ని కూడండి.

$$11y=-6$$

రెండు వైపులా 11తో భాగించండి.

$$y=-\frac{6}{11}$$

5x+6y=4లో yను -\frac{6}{11} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$5x+6\left(-\frac{6}{11}\right)=4$$

6 సార్లు -\frac{6}{11}ని గుణించండి.

$$5x-\frac{36}{11}=4$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{36}{11}ని కూడండి.

$$5x=\frac{80}{11}$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=\frac{16}{11}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{6}{11}$$