{l}{4x+63y=17}{7x-2y=2} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 63 y = 17 } \\ { 7 x - 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=\frac{160}{449}\approx 0.356347439$$

$$y=\frac{111}{449}\approx 0.247216036$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$4x+63y=17,7x-2y=2$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$4x+63y=17$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 63yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x=-63y+17$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{4}\left(-63y+17\right)$$

\frac{1}{4} సార్లు -63y+17ని గుణించండి.

$$x=-\frac{63}{4}y+\frac{17}{4}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-63y+17}{4} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 7x-2y=2.

$$7\left(-\frac{63}{4}y+\frac{17}{4}\right)-2y=2$$

7 సార్లు \frac{-63y+17}{4}ని గుణించండి.

$$-\frac{441}{4}y+\frac{119}{4}-2y=2$$

-2yకు -\frac{441y}{4}ని కూడండి.

$$-\frac{449}{4}y+\frac{119}{4}=2$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{119}{4}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{449}{4}y=-\frac{111}{4}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{449}{4}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{111}{449}$$

x=-\frac{63}{4}y+\frac{17}{4}లో yను \frac{111}{449} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{63}{4}\times \frac{111}{449}+\frac{17}{4}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{63}{4} సార్లు \frac{111}{449}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{6993}{1796}+\frac{17}{4}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{6993}{1796}కు \frac{17}{4}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{160}{449}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{160}{449},y=\frac{111}{449}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$4x+63y=17,7x-2y=2$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}4&63\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&63\\7&-2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&63\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&63\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&63\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&63\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&63\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-63\times 7}&-\frac{63}{4\left(-2\right)-63\times 7}\\-\frac{7}{4\left(-2\right)-63\times 7}&\frac{4}{4\left(-2\right)-63\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{449}&\frac{63}{449}\\\frac{7}{449}&-\frac{4}{449}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{449}\times 17+\frac{63}{449}\times 2\\\frac{7}{449}\times 17-\frac{4}{449}\times 2\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{160}{449}\\\frac{111}{449}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{160}{449},y=\frac{111}{449}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$4x+63y=17,7x-2y=2$$

4x మరియు 7xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 7తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి.

$$7\times 4x+7\times 63y=7\times 17,4\times 7x+4\left(-2\right)y=4\times 2$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$28x+441y=119,28x-8y=8$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 28x-8y=8ని 28x+441y=119 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$28x-28x+441y+8y=119-8$$

-28xకు 28xని కూడండి. 28x మరియు -28x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$441y+8y=119-8$$

8yకు 441yని కూడండి.

$$449y=119-8$$

-8కు 119ని కూడండి.

$$449y=111$$

రెండు వైపులా 449తో భాగించండి.

$$y=\frac{111}{449}$$

7x-2y=2లో yను \frac{111}{449} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$7x-2\times \frac{111}{449}=2$$

-2 సార్లు \frac{111}{449}ని గుణించండి.

$$7x-\frac{222}{449}=2$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{222}{449}ని కూడండి.

$$7x=\frac{1120}{449}$$

రెండు వైపులా 7తో భాగించండి.

$$x=\frac{160}{449}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{160}{449},y=\frac{111}{449}$$