{l}{4x+5y=-3}{-4x+2y=-2} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = - 3 } \\ { - 4 x + 2 y = - 2 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=\frac{1}{7}\approx 0.142857143$$

$$y=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$4x+5y=-3,-4x+2y=-2$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$4x+5y=-3$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 5yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x=-5y-3$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y-3\right)$$

\frac{1}{4} సార్లు -5y-3ని గుణించండి.

$$x=-\frac{5}{4}y-\frac{3}{4}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-5y-3}{4} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -4x+2y=-2.

$$-4\left(-\frac{5}{4}y-\frac{3}{4}\right)+2y=-2$$

-4 సార్లు \frac{-5y-3}{4}ని గుణించండి.

$$5y+3+2y=-2$$

2yకు 5yని కూడండి.

$$7y+3=-2$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$7y=-5$$

రెండు వైపులా 7తో భాగించండి.

$$y=-\frac{5}{7}$$

x=-\frac{5}{4}y-\frac{3}{4}లో yను -\frac{5}{7} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{5}{4}\left(-\frac{5}{7}\right)-\frac{3}{4}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{5}{4} సార్లు -\frac{5}{7}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{25}{28}-\frac{3}{4}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{25}{28}కు -\frac{3}{4}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{1}{7}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{1}{7},y=-\frac{5}{7}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$4x+5y=-3,-4x+2y=-2$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&5\\-4&2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-5\left(-4\right)}&-\frac{5}{4\times 2-5\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{4\times 2-5\left(-4\right)}&\frac{4}{4\times 2-5\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&-\frac{5}{28}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\left(-3\right)-\frac{5}{28}\left(-2\right)\\\frac{1}{7}\left(-3\right)+\frac{1}{7}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\\-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{1}{7},y=-\frac{5}{7}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$4x+5y=-3,-4x+2y=-2$$

4x మరియు -4xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -4తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి.

$$-4\times 4x-4\times 5y=-4\left(-3\right),4\left(-4\right)x+4\times 2y=4\left(-2\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-16x-20y=12,-16x+8y=-8$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -16x+8y=-8ని -16x-20y=12 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-16x+16x-20y-8y=12+8$$

16xకు -16xని కూడండి. -16x మరియు 16x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-20y-8y=12+8$$

-8yకు -20yని కూడండి.

$$-28y=12+8$$

8కు 12ని కూడండి.

$$-28y=20$$

రెండు వైపులా -28తో భాగించండి.

$$y=-\frac{5}{7}$$

-4x+2y=-2లో yను -\frac{5}{7} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-4x+2\left(-\frac{5}{7}\right)=-2$$

2 సార్లు -\frac{5}{7}ని గుణించండి.

$$-4x-\frac{10}{7}=-2$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{10}{7}ని కూడండి.

$$-4x=-\frac{4}{7}$$

రెండు వైపులా -4తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{7}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{1}{7},y=-\frac{5}{7}$$