{l}{4x+4y=280}{4x+1y=124} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 4 y = 280 } \\ { 4 x + 1 y = 124 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=18$$

$$y=52$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$4x+4y=280,4x+y=124$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$4x+4y=280$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 4yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x=-4y+280$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{4}\left(-4y+280\right)$$

\frac{1}{4} సార్లు -4y+280ని గుణించండి.

$$x=-y+70$$

మరొక సమీకరణములో xను -y+70 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 4x+y=124.

$$4\left(-y+70\right)+y=124$$

4 సార్లు -y+70ని గుణించండి.

$$-4y+280+y=124$$

yకు -4yని కూడండి.

$$-3y+280=124$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 280ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3y=-156$$

రెండు వైపులా -3తో భాగించండి.

$$y=52$$

x=-y+70లో yను 52 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-52+70$$

-52కు 70ని కూడండి.

$$x=18$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=18,y=52$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$4x+4y=280,4x+y=124$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-4\times 4}&-\frac{4}{4-4\times 4}\\-\frac{4}{4-4\times 4}&\frac{4}{4-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 280+\frac{1}{3}\times 124\\\frac{1}{3}\times 280-\frac{1}{3}\times 124\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\52\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=18,y=52$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$4x+4y=280,4x+y=124$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 4x+y=124ని 4x+4y=280 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x-4x+4y-y=280-124$$

-4xకు 4xని కూడండి. 4x మరియు -4x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$4y-y=280-124$$

-yకు 4yని కూడండి.

$$3y=280-124$$

-124కు 280ని కూడండి.

$$3y=156$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$y=52$$

4x+y=124లో yను 52 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$4x+52=124$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 52ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x=72$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=18$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=18,y=52$$