{l}{4x+20y=68}{-4x+3y=24} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 20 y = 68 } \\ { - 4 x + 3 y = 24 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-3$$

$$y=4$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$4x+20y=68,-4x+3y=24$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$4x+20y=68$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 20yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x=-20y+68$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{4}\left(-20y+68\right)$$

\frac{1}{4} సార్లు -20y+68ని గుణించండి.

$$x=-5y+17$$

మరొక సమీకరణములో xను -5y+17 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -4x+3y=24.

$$-4\left(-5y+17\right)+3y=24$$

-4 సార్లు -5y+17ని గుణించండి.

$$20y-68+3y=24$$

3yకు 20yని కూడండి.

$$23y-68=24$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 68ని కూడండి.

$$23y=92$$

రెండు వైపులా 23తో భాగించండి.

$$y=4$$

x=-5y+17లో yను 4 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-5\times 4+17$$

-5 సార్లు 4ని గుణించండి.

$$x=-20+17$$

-20కు 17ని కూడండి.

$$x=-3$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-3,y=4$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$4x+20y=68,-4x+3y=24$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}4&20\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}68\\24\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&20\\-4&3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&20\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&20\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&20\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}68\\24\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&20\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}68\\24\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&20\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}68\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-20\left(-4\right)}&-\frac{20}{4\times 3-20\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-20\left(-4\right)}&\frac{4}{4\times 3-20\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}68\\24\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{92}&-\frac{5}{23}\\\frac{1}{23}&\frac{1}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}68\\24\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{92}\times 68-\frac{5}{23}\times 24\\\frac{1}{23}\times 68+\frac{1}{23}\times 24\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-3,y=4$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$4x+20y=68,-4x+3y=24$$

4x మరియు -4xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -4తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి.

$$-4\times 4x-4\times 20y=-4\times 68,4\left(-4\right)x+4\times 3y=4\times 24$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-16x-80y=-272,-16x+12y=96$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -16x+12y=96ని -16x-80y=-272 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-16x+16x-80y-12y=-272-96$$

16xకు -16xని కూడండి. -16x మరియు 16x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-80y-12y=-272-96$$

-12yకు -80yని కూడండి.

$$-92y=-272-96$$

-96కు -272ని కూడండి.

$$-92y=-368$$

రెండు వైపులా -92తో భాగించండి.

$$y=4$$

-4x+3y=24లో yను 4 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-4x+3\times 4=24$$

3 సార్లు 4ని గుణించండి.

$$-4x+12=24$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 12ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-4x=12$$

రెండు వైపులా -4తో భాగించండి.

$$x=-3$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-3,y=4$$