{l}{4a_{1}+6d=3}{3a_{1}+21d=4} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a _ { 1 } + 6 d = 3 } \\ { 3 a _ { 1 } + 21 d = 4 } \end{array} \right.$$

a_1, dని పరిష్కరించండి

$$a_{1}=\frac{13}{22}\approx 0.590909091$$

$$d=\frac{7}{66}\approx 0.106060606$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న a_{1}ని వేరు చేయడం ద్వారా a_{1}ని పరిష్కరించండి.

$$4a_{1}+6d=3$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 6dని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4a_{1}=-6d+3$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$a_{1}=\frac{1}{4}\left(-6d+3\right)$$

\frac{1}{4} సార్లు -6d+3ని గుణించండి.

$$a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}$$

మరొక సమీకరణములో a_{1}ను -\frac{3d}{2}+\frac{3}{4} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 3a_{1}+21d=4.

$$3\left(-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}\right)+21d=4$$

3 సార్లు -\frac{3d}{2}+\frac{3}{4}ని గుణించండి.

$$-\frac{9}{2}d+\frac{9}{4}+21d=4$$

21dకు -\frac{9d}{2}ని కూడండి.

$$\frac{33}{2}d+\frac{9}{4}=4$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{9}{4}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{33}{2}d=\frac{7}{4}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{33}{2}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$d=\frac{7}{66}$$

a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}లో dను \frac{7}{66} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు a_{1}ని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$a_{1}=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{66}+\frac{3}{4}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{3}{2} సార్లు \frac{7}{66}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$a_{1}=-\frac{7}{44}+\frac{3}{4}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{7}{44}కు \frac{3}{4}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{4\times 21-6\times 3}&-\frac{6}{4\times 21-6\times 3}\\-\frac{3}{4\times 21-6\times 3}&\frac{4}{4\times 21-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}&-\frac{1}{11}\\-\frac{1}{22}&\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}\times 3-\frac{1}{11}\times 4\\-\frac{1}{22}\times 3+\frac{2}{33}\times 4\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{22}\\\frac{7}{66}\end{matrix}\right)$$

a_{1} మరియు d మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

4a_{1} మరియు 3a_{1}ని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి.

$$3\times 4a_{1}+3\times 6d=3\times 3,4\times 3a_{1}+4\times 21d=4\times 4$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$12a_{1}+18d=9,12a_{1}+84d=16$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 12a_{1}+84d=16ని 12a_{1}+18d=9 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$12a_{1}-12a_{1}+18d-84d=9-16$$

-12a_{1}కు 12a_{1}ని కూడండి. 12a_{1} మరియు -12a_{1} విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$18d-84d=9-16$$

-84dకు 18dని కూడండి.

$$-66d=9-16$$

-16కు 9ని కూడండి.

$$-66d=-7$$

రెండు వైపులా -66తో భాగించండి.

$$d=\frac{7}{66}$$

3a_{1}+21d=4లో dను \frac{7}{66} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు a_{1}ని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$3a_{1}+21\times \frac{7}{66}=4$$

21 సార్లు \frac{7}{66}ని గుణించండి.

$$3a_{1}+\frac{49}{22}=4$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{49}{22}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3a_{1}=\frac{39}{22}$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$