{l}{4=3A-9D}{2=8A-8D} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 4 = 3 A - 9 D } \\ { 2 = 8 A - 8 D } \end{array} \right.$$

A, Dని పరిష్కరించండి

$$A=-\frac{7}{24}\approx -0.291666667$$

$$D=-\frac{13}{24}\approx -0.541666667$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. అన్ని చరరాశి విలువలు ఎడమ వైపుకి వచ్చే విధంగా భాగాలను మార్చండి.

$$3A-9D=4$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. అన్ని చరరాశి విలువలు ఎడమ వైపుకి వచ్చే విధంగా భాగాలను మార్చండి.

$$8A-8D=2$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3A-9D=4,8A-8D=2$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న Aని వేరు చేయడం ద్వారా Aని పరిష్కరించండి.

$$3A-9D=4$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 9Dని కూడండి.

$$3A=9D+4$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$A=\frac{1}{3}\left(9D+4\right)$$

\frac{1}{3} సార్లు 9D+4ని గుణించండి.

$$A=3D+\frac{4}{3}$$

మరొక సమీకరణములో Aను 3D+\frac{4}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 8A-8D=2.

$$8\left(3D+\frac{4}{3}\right)-8D=2$$

8 సార్లు 3D+\frac{4}{3}ని గుణించండి.

$$24D+\frac{32}{3}-8D=2$$

-8Dకు 24Dని కూడండి.

$$16D+\frac{32}{3}=2$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{32}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$16D=-\frac{26}{3}$$

రెండు వైపులా 16తో భాగించండి.

$$D=-\frac{13}{24}$$

A=3D+\frac{4}{3}లో Dను -\frac{13}{24} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు Aని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$A=3\left(-\frac{13}{24}\right)+\frac{4}{3}$$

3 సార్లు -\frac{13}{24}ని గుణించండి.

$$A=-\frac{13}{8}+\frac{4}{3}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{13}{8}కు \frac{4}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$A=-\frac{7}{24}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$A=-\frac{7}{24},D=-\frac{13}{24}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. అన్ని చరరాశి విలువలు ఎడమ వైపుకి వచ్చే విధంగా భాగాలను మార్చండి.

$$3A-9D=4$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. అన్ని చరరాశి విలువలు ఎడమ వైపుకి వచ్చే విధంగా భాగాలను మార్చండి.

$$8A-8D=2$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3A-9D=4,8A-8D=2$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}&-\frac{-9}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}\\-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{3}{16}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 4+\frac{3}{16}\times 2\\-\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{24}\\-\frac{13}{24}\end{matrix}\right)$$

A మరియు D మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$A=-\frac{7}{24},D=-\frac{13}{24}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. అన్ని చరరాశి విలువలు ఎడమ వైపుకి వచ్చే విధంగా భాగాలను మార్చండి.

$$3A-9D=4$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. అన్ని చరరాశి విలువలు ఎడమ వైపుకి వచ్చే విధంగా భాగాలను మార్చండి.

$$8A-8D=2$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3A-9D=4,8A-8D=2$$

3A మరియు 8Aని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 8తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి.

$$8\times 3A+8\left(-9\right)D=8\times 4,3\times 8A+3\left(-8\right)D=3\times 2$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$24A-72D=32,24A-24D=6$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 24A-24D=6ని 24A-72D=32 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$24A-24A-72D+24D=32-6$$

-24Aకు 24Aని కూడండి. 24A మరియు -24A విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-72D+24D=32-6$$

24Dకు -72Dని కూడండి.

$$-48D=32-6$$

-6కు 32ని కూడండి.

$$-48D=26$$

రెండు వైపులా -48తో భాగించండి.

$$D=-\frac{13}{24}$$

8A-8D=2లో Dను -\frac{13}{24} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు Aని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$8A-8\left(-\frac{13}{24}\right)=2$$

-8 సార్లు -\frac{13}{24}ని గుణించండి.

$$8A+\frac{13}{3}=2$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{13}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$8A=-\frac{7}{3}$$

రెండు వైపులా 8తో భాగించండి.

$$A=-\frac{7}{24}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$A=-\frac{7}{24},D=-\frac{13}{24}$$