{l}{342=23m+b}{147=10m+b} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 342 = 23 m + b } \\ { 147 = 10 m + b } \end{array} \right.$$

m, bని పరిష్కరించండి

$$m=15$$

$$b=-3$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. అన్ని చరరాశి విలువలు ఎడమ వైపుకి వచ్చే విధంగా భాగాలను మార్చండి.

$$23m+b=342$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. అన్ని చరరాశి విలువలు ఎడమ వైపుకి వచ్చే విధంగా భాగాలను మార్చండి.

$$10m+b=147$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$23m+b=342,10m+b=147$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న mని వేరు చేయడం ద్వారా mని పరిష్కరించండి.

$$23m+b=342$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి bని వ్యవకలనం చేయండి.

$$23m=-b+342$$

రెండు వైపులా 23తో భాగించండి.

$$m=\frac{1}{23}\left(-b+342\right)$$

\frac{1}{23} సార్లు -b+342ని గుణించండి.

$$m=-\frac{1}{23}b+\frac{342}{23}$$

మరొక సమీకరణములో mను \frac{-b+342}{23} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 10m+b=147.

$$10\left(-\frac{1}{23}b+\frac{342}{23}\right)+b=147$$

10 సార్లు \frac{-b+342}{23}ని గుణించండి.

$$-\frac{10}{23}b+\frac{3420}{23}+b=147$$

bకు -\frac{10b}{23}ని కూడండి.

$$\frac{13}{23}b+\frac{3420}{23}=147$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{3420}{23}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{13}{23}b=-\frac{39}{23}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{13}{23}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$b=-3$$

m=-\frac{1}{23}b+\frac{342}{23}లో bను -3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు mని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$m=-\frac{1}{23}\left(-3\right)+\frac{342}{23}$$

-\frac{1}{23} సార్లు -3ని గుణించండి.

$$m=\frac{3+342}{23}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{3}{23}కు \frac{342}{23}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$m=15$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$m=15,b=-3$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. అన్ని చరరాశి విలువలు ఎడమ వైపుకి వచ్చే విధంగా భాగాలను మార్చండి.

$$23m+b=342$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. అన్ని చరరాశి విలువలు ఎడమ వైపుకి వచ్చే విధంగా భాగాలను మార్చండి.

$$10m+b=147$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$23m+b=342,10m+b=147$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23-10}&-\frac{1}{23-10}\\-\frac{10}{23-10}&\frac{23}{23-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&-\frac{1}{13}\\-\frac{10}{13}&\frac{23}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 342-\frac{1}{13}\times 147\\-\frac{10}{13}\times 342+\frac{23}{13}\times 147\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-3\end{matrix}\right)$$

m మరియు b మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$m=15,b=-3$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. అన్ని చరరాశి విలువలు ఎడమ వైపుకి వచ్చే విధంగా భాగాలను మార్చండి.

$$23m+b=342$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. అన్ని చరరాశి విలువలు ఎడమ వైపుకి వచ్చే విధంగా భాగాలను మార్చండి.

$$10m+b=147$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$23m+b=342,10m+b=147$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 10m+b=147ని 23m+b=342 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$23m-10m+b-b=342-147$$

-bకు bని కూడండి. b మరియు -b విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$23m-10m=342-147$$

-10mకు 23mని కూడండి.

$$13m=342-147$$

-147కు 342ని కూడండి.

$$13m=195$$

రెండు వైపులా 13తో భాగించండి.

$$m=15$$

10m+b=147లో mను 15 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు bని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$10\times 15+b=147$$

10 సార్లు 15ని గుణించండి.

$$150+b=147$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 150ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$b=-3$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$m=15,b=-3$$