{l}{3x-y=3}{7x+2y=20} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - y = 3 } \\ { 7 x + 2 y = 20 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=2$$

$$y=3$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3x-y=3,7x+2y=20$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$3x-y=3$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా yని కూడండి.

$$3x=y+3$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+3\right)$$

\frac{1}{3} సార్లు y+3ని గుణించండి.

$$x=\frac{1}{3}y+1$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{y}{3}+1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 7x+2y=20.

$$7\left(\frac{1}{3}y+1\right)+2y=20$$

7 సార్లు \frac{y}{3}+1ని గుణించండి.

$$\frac{7}{3}y+7+2y=20$$

2yకు \frac{7y}{3}ని కూడండి.

$$\frac{13}{3}y+7=20$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 7ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{13}{3}y=13$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{13}{3}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=3$$

x=\frac{1}{3}y+1లో yను 3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{1}{3}\times 3+1$$

\frac{1}{3} సార్లు 3ని గుణించండి.

$$x=1+1$$

1కు 1ని కూడండి.

$$x=2$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=2,y=3$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3x-y=3,7x+2y=20$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\20\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\20\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-7\right)}&-\frac{-1}{3\times 2-\left(-7\right)}\\-\frac{7}{3\times 2-\left(-7\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\20\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\\-\frac{7}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\20\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 3+\frac{1}{13}\times 20\\-\frac{7}{13}\times 3+\frac{3}{13}\times 20\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=2,y=3$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3x-y=3,7x+2y=20$$

3x మరియు 7xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 7తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి.

$$7\times 3x+7\left(-1\right)y=7\times 3,3\times 7x+3\times 2y=3\times 20$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$21x-7y=21,21x+6y=60$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 21x+6y=60ని 21x-7y=21 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$21x-21x-7y-6y=21-60$$

-21xకు 21xని కూడండి. 21x మరియు -21x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-7y-6y=21-60$$

-6yకు -7yని కూడండి.

$$-13y=21-60$$

-60కు 21ని కూడండి.

$$-13y=-39$$

రెండు వైపులా -13తో భాగించండి.

$$y=3$$

7x+2y=20లో yను 3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$7x+2\times 3=20$$

2 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$7x+6=20$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 6ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$7x=14$$

రెండు వైపులా 7తో భాగించండి.

$$x=2$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=2,y=3$$