{l}{3x-5y=7}{x=2y+3} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = 7 } \\ { x = 2 y + 3 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-1$$

$$y=-2$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 2yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-2y=3$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3x-5y=7,x-2y=3$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$3x-5y=7$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 5yని కూడండి.

$$3x=5y+7$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+7\right)$$

\frac{1}{3} సార్లు 5y+7ని గుణించండి.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{5y+7}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x-2y=3.

$$\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}-2y=3$$

-2yకు \frac{5y}{3}ని కూడండి.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{7}{3}=3$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{7}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{2}{3}$$

రెండు వైపులా -3తో గుణించండి.

$$y=-2$$

x=\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}లో yను -2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{5}{3}\left(-2\right)+\frac{7}{3}$$

\frac{5}{3} సార్లు -2ని గుణించండి.

$$x=\frac{-10+7}{3}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{10}{3}కు \frac{7}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-1,y=-2$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 2yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-2y=3$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3x-5y=7,x-2y=3$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 7-5\times 3\\7-3\times 3\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-1,y=-2$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 2yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-2y=3$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3x-5y=7,x-2y=3$$

3x మరియు xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి.

$$3x-5y=7,3x+3\left(-2\right)y=3\times 3$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$3x-5y=7,3x-6y=9$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 3x-6y=9ని 3x-5y=7 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-3x-5y+6y=7-9$$

-3xకు 3xని కూడండి. 3x మరియు -3x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-5y+6y=7-9$$

6yకు -5yని కూడండి.

$$y=7-9$$

-9కు 7ని కూడండి.

$$y=-2$$

x-2y=3లో yను -2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x-2\left(-2\right)=3$$

-2 సార్లు -2ని గుణించండి.

$$x+4=3$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 4ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-1,y=-2$$