{l}{3x-2y=5}{-5-x+2y=9} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 5 } \\ { - 5 - x + 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{19}{2} = 9\frac{1}{2} = 9.5$$

$$y = \frac{47}{4} = 11\frac{3}{4} = 11.75$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$3x-2y=5$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2yని కూడండి.

$$3x=2y+5$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+5\right)$$

\frac{1}{3} సార్లు 2y+5ని గుణించండి.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{2y+5}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -x+2y-5=9.

$$-\left(\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)+2y-5=9$$

-1 సార్లు \frac{2y+5}{3}ని గుణించండి.

$$-\frac{2}{3}y-\frac{5}{3}+2y-5=9$$

2yకు -\frac{2y}{3}ని కూడండి.

$$\frac{4}{3}y-\frac{5}{3}-5=9$$

-5కు -\frac{5}{3}ని కూడండి.

$$\frac{4}{3}y-\frac{20}{3}=9$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{20}{3}ని కూడండి.

$$\frac{4}{3}y=\frac{47}{3}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{4}{3}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{47}{4}$$

x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}లో yను \frac{47}{4} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{47}{4}+\frac{5}{3}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{2}{3} సార్లు \frac{47}{4}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{47}{6}+\frac{5}{3}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{47}{6}కు \frac{5}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{19}{2}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 14\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{4}\times 14\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{2}\\\frac{47}{4}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

3x మరియు -xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి.

$$-3x-\left(-2y\right)=-5,3\left(-1\right)x+3\times 2y+3\left(-5\right)=3\times 9$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-3x+2y=-5,-3x+6y-15=27$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -3x+6y-15=27ని -3x+2y=-5 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3x+3x+2y-6y+15=-5-27$$

3xకు -3xని కూడండి. -3x మరియు 3x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$2y-6y+15=-5-27$$

-6yకు 2yని కూడండి.

$$-4y+15=-5-27$$

-27కు -5ని కూడండి.

$$-4y+15=-32$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 15ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-4y=-47$$

రెండు వైపులా -4తో భాగించండి.

$$y=\frac{47}{4}$$

-x+2y-5=9లో yను \frac{47}{4} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-x+2\times \frac{47}{4}-5=9$$

2 సార్లు \frac{47}{4}ని గుణించండి.

$$-x+\frac{47}{2}-5=9$$

-5కు \frac{47}{2}ని కూడండి.

$$-x+\frac{37}{2}=9$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{37}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-x=-\frac{19}{2}$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$x=\frac{19}{2}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$