{l}{3x-2y=20}{5x+8y=22} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 20 } \\ { 5 x + 8 y = 22 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=6$$

$$y=-1$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3x-2y=20,5x+8y=22$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$3x-2y=20$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2yని కూడండి.

$$3x=2y+20$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+20\right)$$

\frac{1}{3} సార్లు 20+2yని గుణించండి.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{20}{3}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{20+2y}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 5x+8y=22.

$$5\left(\frac{2}{3}y+\frac{20}{3}\right)+8y=22$$

5 సార్లు \frac{20+2y}{3}ని గుణించండి.

$$\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}+8y=22$$

8yకు \frac{10y}{3}ని కూడండి.

$$\frac{34}{3}y+\frac{100}{3}=22$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{100}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{34}{3}y=-\frac{34}{3}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{34}{3}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-1$$

x=\frac{2}{3}y+\frac{20}{3}లో yను -1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{2}{3}\left(-1\right)+\frac{20}{3}$$

\frac{2}{3} సార్లు -1ని గుణించండి.

$$x=\frac{-2+20}{3}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{2}{3}కు \frac{20}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=6$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=6,y=-1$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3x-2y=20,5x+8y=22$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\22\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\22\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\22\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\22\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{3\times 8-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{3\times 8-\left(-2\times 5\right)}&\frac{3}{3\times 8-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\22\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}&\frac{1}{17}\\-\frac{5}{34}&\frac{3}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\22\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\times 20+\frac{1}{17}\times 22\\-\frac{5}{34}\times 20+\frac{3}{34}\times 22\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=6,y=-1$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3x-2y=20,5x+8y=22$$

3x మరియు 5xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 5తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి.

$$5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\times 20,3\times 5x+3\times 8y=3\times 22$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$15x-10y=100,15x+24y=66$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 15x+24y=66ని 15x-10y=100 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$15x-15x-10y-24y=100-66$$

-15xకు 15xని కూడండి. 15x మరియు -15x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-10y-24y=100-66$$

-24yకు -10yని కూడండి.

$$-34y=100-66$$

-66కు 100ని కూడండి.

$$-34y=34$$

రెండు వైపులా -34తో భాగించండి.

$$y=-1$$

5x+8y=22లో yను -1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$5x+8\left(-1\right)=22$$

8 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$5x-8=22$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 8ని కూడండి.

$$5x=30$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=6$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=6,y=-1$$