{l}{3x+7y=10}{4x-19y=7} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 7 y = 10 } \\ { 4 x - 19 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{239}{85} = 2\frac{69}{85} \approx 2.811764706$$

$$y=\frac{19}{85}\approx 0.223529412$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3x+7y=10,4x-19y=7$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$3x+7y=10$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 7yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x=-7y+10$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+10\right)$$

\frac{1}{3} సార్లు -7y+10ని గుణించండి.

$$x=-\frac{7}{3}y+\frac{10}{3}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-7y+10}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 4x-19y=7.

$$4\left(-\frac{7}{3}y+\frac{10}{3}\right)-19y=7$$

4 సార్లు \frac{-7y+10}{3}ని గుణించండి.

$$-\frac{28}{3}y+\frac{40}{3}-19y=7$$

-19yకు -\frac{28y}{3}ని కూడండి.

$$-\frac{85}{3}y+\frac{40}{3}=7$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{40}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{85}{3}y=-\frac{19}{3}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{85}{3}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{19}{85}$$

x=-\frac{7}{3}y+\frac{10}{3}లో yను \frac{19}{85} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{7}{3}\times \frac{19}{85}+\frac{10}{3}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{7}{3} సార్లు \frac{19}{85}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{133}{255}+\frac{10}{3}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{133}{255}కు \frac{10}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{239}{85}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{239}{85},y=\frac{19}{85}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3x+7y=10,4x-19y=7$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{3\left(-19\right)-7\times 4}&-\frac{7}{3\left(-19\right)-7\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-19\right)-7\times 4}&\frac{3}{3\left(-19\right)-7\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{85}&\frac{7}{85}\\\frac{4}{85}&-\frac{3}{85}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{85}\times 10+\frac{7}{85}\times 7\\\frac{4}{85}\times 10-\frac{3}{85}\times 7\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{239}{85}\\\frac{19}{85}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{239}{85},y=\frac{19}{85}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3x+7y=10,4x-19y=7$$

3x మరియు 4xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి.

$$4\times 3x+4\times 7y=4\times 10,3\times 4x+3\left(-19\right)y=3\times 7$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$12x+28y=40,12x-57y=21$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 12x-57y=21ని 12x+28y=40 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$12x-12x+28y+57y=40-21$$

-12xకు 12xని కూడండి. 12x మరియు -12x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$28y+57y=40-21$$

57yకు 28yని కూడండి.

$$85y=40-21$$

-21కు 40ని కూడండి.

$$85y=19$$

రెండు వైపులా 85తో భాగించండి.

$$y=\frac{19}{85}$$

4x-19y=7లో yను \frac{19}{85} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$4x-19\times \frac{19}{85}=7$$

-19 సార్లు \frac{19}{85}ని గుణించండి.

$$4x-\frac{361}{85}=7$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{361}{85}ని కూడండి.

$$4x=\frac{956}{85}$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=\frac{239}{85}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{239}{85},y=\frac{19}{85}$$