{l}{3x+5y=21}{5x+2y=4} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 21 } \\ { 5 x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{22}{19} = -1\frac{3}{19} \approx -1.157894737$$

$$y = \frac{93}{19} = 4\frac{17}{19} \approx 4.894736842$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$3x+5y=21$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 5yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x=-5y+21$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+21\right)$$

\frac{1}{3} సార్లు -5y+21ని గుణించండి.

$$x=-\frac{5}{3}y+7$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{5y}{3}+7 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 5x+2y=4.

$$5\left(-\frac{5}{3}y+7\right)+2y=4$$

5 సార్లు -\frac{5y}{3}+7ని గుణించండి.

$$-\frac{25}{3}y+35+2y=4$$

2yకు -\frac{25y}{3}ని కూడండి.

$$-\frac{19}{3}y+35=4$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 35ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{19}{3}y=-31$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{19}{3}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{93}{19}$$

x=-\frac{5}{3}y+7లో yను \frac{93}{19} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{93}{19}+7$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{5}{3} సార్లు \frac{93}{19}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{155}{19}+7$$

-\frac{155}{19}కు 7ని కూడండి.

$$x=-\frac{22}{19}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 2-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 2-5\times 5}&\frac{3}{3\times 2-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\\frac{5}{19}&-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}\times 21+\frac{5}{19}\times 4\\\frac{5}{19}\times 21-\frac{3}{19}\times 4\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{19}\\\frac{93}{19}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

3x మరియు 5xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 5తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి.

$$5\times 3x+5\times 5y=5\times 21,3\times 5x+3\times 2y=3\times 4$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$15x+25y=105,15x+6y=12$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 15x+6y=12ని 15x+25y=105 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$15x-15x+25y-6y=105-12$$

-15xకు 15xని కూడండి. 15x మరియు -15x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$25y-6y=105-12$$

-6yకు 25yని కూడండి.

$$19y=105-12$$

-12కు 105ని కూడండి.

$$19y=93$$

రెండు వైపులా 19తో భాగించండి.

$$y=\frac{93}{19}$$

5x+2y=4లో yను \frac{93}{19} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$5x+2\times \frac{93}{19}=4$$

2 సార్లు \frac{93}{19}ని గుణించండి.

$$5x+\frac{186}{19}=4$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{186}{19}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x=-\frac{110}{19}$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=-\frac{22}{19}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$