{l}{3x+5y=-24}{-5x+2y=-22x} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = - 24 } \\ { - 5 x + 2 y = - 22 x } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=\frac{48}{79}\approx 0.607594937$$

$$y = -\frac{408}{79} = -5\frac{13}{79} \approx -5.164556962$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 22xని జోడించండి.

$$-5x+2y+22x=0$$

17xని పొందడం కోసం -5x మరియు 22xని జత చేయండి.

$$17x+2y=0$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$3x+5y=-24$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 5yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x=-5y-24$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-24\right)$$

\frac{1}{3} సార్లు -5y-24ని గుణించండి.

$$x=-\frac{5}{3}y-8$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{5y}{3}-8 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 17x+2y=0.

$$17\left(-\frac{5}{3}y-8\right)+2y=0$$

17 సార్లు -\frac{5y}{3}-8ని గుణించండి.

$$-\frac{85}{3}y-136+2y=0$$

2yకు -\frac{85y}{3}ని కూడండి.

$$-\frac{79}{3}y-136=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 136ని కూడండి.

$$-\frac{79}{3}y=136$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{79}{3}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-\frac{408}{79}$$

x=-\frac{5}{3}y-8లో yను -\frac{408}{79} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-\frac{408}{79}\right)-8$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{5}{3} సార్లు -\frac{408}{79}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{680}{79}-8$$

\frac{680}{79}కు -8ని కూడండి.

$$x=\frac{48}{79}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 22xని జోడించండి.

$$-5x+2y+22x=0$$

17xని పొందడం కోసం -5x మరియు 22xని జత చేయండి.

$$17x+2y=0$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-5\times 17}&-\frac{5}{3\times 2-5\times 17}\\-\frac{17}{3\times 2-5\times 17}&\frac{3}{3\times 2-5\times 17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{79}&\frac{5}{79}\\\frac{17}{79}&-\frac{3}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{79}\left(-24\right)\\\frac{17}{79}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{79}\\-\frac{408}{79}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 22xని జోడించండి.

$$-5x+2y+22x=0$$

17xని పొందడం కోసం -5x మరియు 22xని జత చేయండి.

$$17x+2y=0$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

3x మరియు 17xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 17తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి.

$$17\times 3x+17\times 5y=17\left(-24\right),3\times 17x+3\times 2y=0$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$51x+85y=-408,51x+6y=0$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 51x+6y=0ని 51x+85y=-408 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$51x-51x+85y-6y=-408$$

-51xకు 51xని కూడండి. 51x మరియు -51x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$85y-6y=-408$$

-6yకు 85yని కూడండి.

$$79y=-408$$

రెండు వైపులా 79తో భాగించండి.

$$y=-\frac{408}{79}$$

17x+2y=0లో yను -\frac{408}{79} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$17x+2\left(-\frac{408}{79}\right)=0$$

2 సార్లు -\frac{408}{79}ని గుణించండి.

$$17x-\frac{816}{79}=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{816}{79}ని కూడండి.

$$17x=\frac{816}{79}$$

రెండు వైపులా 17తో భాగించండి.

$$x=\frac{48}{79}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$