{l}{3x+4=y}{9x-5=y} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 = y } \\ { 9 x - 5 = y } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y = \frac{17}{2} = 8\frac{1}{2} = 8.5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x+4-y=0$$

రెండు భాగాల నుండి 4ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$3x-y=-4$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$9x-5-y=0$$

రెండు వైపులా 5ని జోడించండి. సున్నాతో ఏ సంఖ్యను కూడినా అదే సంఖ్య వస్తుంది.

$$9x-y=5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3x-y=-4,9x-y=5$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$3x-y=-4$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా yని కూడండి.

$$3x=y-4$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-4\right)$$

\frac{1}{3} సార్లు y-4ని గుణించండి.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{4}{3}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-4+y}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 9x-y=5.

$$9\left(\frac{1}{3}y-\frac{4}{3}\right)-y=5$$

9 సార్లు \frac{-4+y}{3}ని గుణించండి.

$$3y-12-y=5$$

-yకు 3yని కూడండి.

$$2y-12=5$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 12ని కూడండి.

$$2y=17$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$y=\frac{17}{2}$$

x=\frac{1}{3}y-\frac{4}{3}లో yను \frac{17}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{17}{2}-\frac{4}{3}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{1}{3} సార్లు \frac{17}{2}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{17}{6}-\frac{4}{3}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{17}{6}కు -\frac{4}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{3}{2}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{17}{2}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x+4-y=0$$

రెండు భాగాల నుండి 4ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$3x-y=-4$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$9x-5-y=0$$

రెండు వైపులా 5ని జోడించండి. సున్నాతో ఏ సంఖ్యను కూడినా అదే సంఖ్య వస్తుంది.

$$9x-y=5$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3x-y=-4,9x-y=5$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-9\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-1\right)-\left(-9\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\left(-4\right)+\frac{1}{6}\times 5\\-\frac{3}{2}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{17}{2}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x+4-y=0$$

రెండు భాగాల నుండి 4ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$3x-y=-4$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$9x-5-y=0$$

రెండు వైపులా 5ని జోడించండి. సున్నాతో ఏ సంఖ్యను కూడినా అదే సంఖ్య వస్తుంది.

$$9x-y=5$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3x-y=-4,9x-y=5$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 9x-y=5ని 3x-y=-4 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-9x-y+y=-4-5$$

yకు -yని కూడండి. -y మరియు y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$3x-9x=-4-5$$

-9xకు 3xని కూడండి.

$$-6x=-4-5$$

-5కు -4ని కూడండి.

$$-6x=-9$$

రెండు వైపులా -6తో భాగించండి.

$$x=\frac{3}{2}$$

9x-y=5లో xను \frac{3}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$9\times \frac{3}{2}-y=5$$

9 సార్లు \frac{3}{2}ని గుణించండి.

$$\frac{27}{2}-y=5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{27}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-y=-\frac{17}{2}$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$y=\frac{17}{2}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{17}{2}$$