{l}{3u+5x=8}{5u+5x=14} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 3 u + 5 x = 8 } \\ { 5 u + 5 x = 14 } \end{array} \right.$$

u, xని పరిష్కరించండి

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$u=3$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న uని వేరు చేయడం ద్వారా uని పరిష్కరించండి.

$$3u+5x=8$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 5xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3u=-5x+8$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$u=\frac{1}{3}\left(-5x+8\right)$$

\frac{1}{3} సార్లు -5x+8ని గుణించండి.

$$u=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}$$

మరొక సమీకరణములో uను \frac{-5x+8}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 5u+5x=14.

$$5\left(-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}\right)+5x=14$$

5 సార్లు \frac{-5x+8}{3}ని గుణించండి.

$$-\frac{25}{3}x+\frac{40}{3}+5x=14$$

5xకు -\frac{25x}{3}ని కూడండి.

$$-\frac{10}{3}x+\frac{40}{3}=14$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{40}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{10}{3}x=\frac{2}{3}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{10}{3}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$x=-\frac{1}{5}$$

u=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}లో xను -\frac{1}{5} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు uని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$u=-\frac{5}{3}\left(-\frac{1}{5}\right)+\frac{8}{3}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{5}{3} సార్లు -\frac{1}{5}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$u=\frac{1+8}{3}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{1}{3}కు \frac{8}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$u=3$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 5-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 5-5\times 5}&\frac{3}{3\times 5-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 8+\frac{1}{2}\times 14\\\frac{1}{2}\times 8-\frac{3}{10}\times 14\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

u మరియు x మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 5u+5x=14ని 3u+5x=8 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3u-5u+5x-5x=8-14$$

-5xకు 5xని కూడండి. 5x మరియు -5x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$3u-5u=8-14$$

-5uకు 3uని కూడండి.

$$-2u=8-14$$

-14కు 8ని కూడండి.

$$-2u=-6$$

రెండు వైపులా -2తో భాగించండి.

$$u=3$$

5u+5x=14లో uను 3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$5\times 3+5x=14$$

5 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$15+5x=14$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 15ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x=-1$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=-\frac{1}{5}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$