{l}{3c+5z=-15}{5c+3z=-9} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 3 c + 5 z = - 15 } \\ { 5 c + 3 z = - 9 } \end{array} \right.$$

c, zని పరిష్కరించండి

$$z=-3$$

$$c=0$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న cని వేరు చేయడం ద్వారా cని పరిష్కరించండి.

$$3c+5z=-15$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 5zని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3c=-5z-15$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$c=\frac{1}{3}\left(-5z-15\right)$$

\frac{1}{3} సార్లు -5z-15ని గుణించండి.

$$c=-\frac{5}{3}z-5$$

మరొక సమీకరణములో cను -\frac{5z}{3}-5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 5c+3z=-9.

$$5\left(-\frac{5}{3}z-5\right)+3z=-9$$

5 సార్లు -\frac{5z}{3}-5ని గుణించండి.

$$-\frac{25}{3}z-25+3z=-9$$

3zకు -\frac{25z}{3}ని కూడండి.

$$-\frac{16}{3}z-25=-9$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 25ని కూడండి.

$$-\frac{16}{3}z=16$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{16}{3}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$z=-3$$

c=-\frac{5}{3}z-5లో zను -3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు cని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$c=-\frac{5}{3}\left(-3\right)-5$$

-\frac{5}{3} సార్లు -3ని గుణించండి.

$$c=5-5$$

5కు -5ని కూడండి.

$$c=0$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$c=0,z=-3$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}&\frac{3}{3\times 3-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\\\frac{5}{16}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}\left(-15\right)+\frac{5}{16}\left(-9\right)\\\frac{5}{16}\left(-15\right)-\frac{3}{16}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

c మరియు z మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$c=0,z=-3$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

3c మరియు 5cని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 5తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి.

$$5\times 3c+5\times 5z=5\left(-15\right),3\times 5c+3\times 3z=3\left(-9\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$15c+25z=-75,15c+9z=-27$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 15c+9z=-27ని 15c+25z=-75 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$15c-15c+25z-9z=-75+27$$

-15cకు 15cని కూడండి. 15c మరియు -15c విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$25z-9z=-75+27$$

-9zకు 25zని కూడండి.

$$16z=-75+27$$

27కు -75ని కూడండి.

$$16z=-48$$

రెండు వైపులా 16తో భాగించండి.

$$z=-3$$

5c+3z=-9లో zను -3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు cని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$5c+3\left(-3\right)=-9$$

3 సార్లు -3ని గుణించండి.

$$5c-9=-9$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 9ని కూడండి.

$$5c=0$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$c=0$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$c=0,z=-3$$