{l}{3c+2x=5}{2c+4x=6} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 3 c + 2 x = 5 } \\ { 2 c + 4 x = 6 } \end{array} \right.$$

c, xని పరిష్కరించండి

$$x=1$$

$$c=1$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3c+2x=5,2c+4x=6$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న cని వేరు చేయడం ద్వారా cని పరిష్కరించండి.

$$3c+2x=5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 2xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3c=-2x+5$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$c=\frac{1}{3}\left(-2x+5\right)$$

\frac{1}{3} సార్లు -2x+5ని గుణించండి.

$$c=-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$$

మరొక సమీకరణములో cను \frac{-2x+5}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2c+4x=6.

$$2\left(-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\right)+4x=6$$

2 సార్లు \frac{-2x+5}{3}ని గుణించండి.

$$-\frac{4}{3}x+\frac{10}{3}+4x=6$$

4xకు -\frac{4x}{3}ని కూడండి.

$$\frac{8}{3}x+\frac{10}{3}=6$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{10}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{8}{3}x=\frac{8}{3}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{8}{3}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$x=1$$

c=-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}లో xను 1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు cని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$c=\frac{-2+5}{3}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{2}{3}కు \frac{5}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$c=1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$c=1,x=1$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3c+2x=5,2c+4x=6$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-2\times 2}&-\frac{2}{3\times 4-2\times 2}\\-\frac{2}{3\times 4-2\times 2}&\frac{3}{3\times 4-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{4}\times 6\\-\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{8}\times 6\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

c మరియు x మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$c=1,x=1$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3c+2x=5,2c+4x=6$$

3c మరియు 2cని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి.

$$2\times 3c+2\times 2x=2\times 5,3\times 2c+3\times 4x=3\times 6$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$6c+4x=10,6c+12x=18$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 6c+12x=18ని 6c+4x=10 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$6c-6c+4x-12x=10-18$$

-6cకు 6cని కూడండి. 6c మరియు -6c విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$4x-12x=10-18$$

-12xకు 4xని కూడండి.

$$-8x=10-18$$

-18కు 10ని కూడండి.

$$-8x=-8$$

రెండు వైపులా -8తో భాగించండి.

$$x=1$$

2c+4x=6లో xను 1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు cని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$2c+4=6$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 4ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2c=2$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$c=1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$c=1,x=1$$