{l}{3A-13c=-255}{31A-6c=-180} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 3 A - 13 c = - 255 } \\ { 31 A - 6 c = - 180 } \end{array} \right.$$

A, cని పరిష్కరించండి

$$A = -\frac{162}{77} = -2\frac{8}{77} \approx -2.103896104$$

$$c = \frac{1473}{77} = 19\frac{10}{77} \approx 19.12987013$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న Aని వేరు చేయడం ద్వారా Aని పరిష్కరించండి.

$$3A-13c=-255$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 13cని కూడండి.

$$3A=13c-255$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$A=\frac{1}{3}\left(13c-255\right)$$

\frac{1}{3} సార్లు 13c-255ని గుణించండి.

$$A=\frac{13}{3}c-85$$

మరొక సమీకరణములో Aను \frac{13c}{3}-85 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 31A-6c=-180.

$$31\left(\frac{13}{3}c-85\right)-6c=-180$$

31 సార్లు \frac{13c}{3}-85ని గుణించండి.

$$\frac{403}{3}c-2635-6c=-180$$

-6cకు \frac{403c}{3}ని కూడండి.

$$\frac{385}{3}c-2635=-180$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2635ని కూడండి.

$$\frac{385}{3}c=2455$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{385}{3}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$c=\frac{1473}{77}$$

A=\frac{13}{3}c-85లో cను \frac{1473}{77} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు Aని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$A=\frac{13}{3}\times \frac{1473}{77}-85$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{13}{3} సార్లు \frac{1473}{77}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$A=\frac{6383}{77}-85$$

\frac{6383}{77}కు -85ని కూడండి.

$$A=-\frac{162}{77}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&-\frac{-13}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\\-\frac{31}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&\frac{3}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}&\frac{13}{385}\\-\frac{31}{385}&\frac{3}{385}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}\left(-255\right)+\frac{13}{385}\left(-180\right)\\-\frac{31}{385}\left(-255\right)+\frac{3}{385}\left(-180\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{162}{77}\\\frac{1473}{77}\end{matrix}\right)$$

A మరియు c మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

3A మరియు 31Aని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 31తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి.

$$31\times 3A+31\left(-13\right)c=31\left(-255\right),3\times 31A+3\left(-6\right)c=3\left(-180\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$93A-403c=-7905,93A-18c=-540$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 93A-18c=-540ని 93A-403c=-7905 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$93A-93A-403c+18c=-7905+540$$

-93Aకు 93Aని కూడండి. 93A మరియు -93A విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-403c+18c=-7905+540$$

18cకు -403cని కూడండి.

$$-385c=-7905+540$$

540కు -7905ని కూడండి.

$$-385c=-7365$$

రెండు వైపులా -385తో భాగించండి.

$$c=\frac{1473}{77}$$

31A-6c=-180లో cను \frac{1473}{77} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు Aని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$31A-6\times \frac{1473}{77}=-180$$

-6 సార్లు \frac{1473}{77}ని గుణించండి.

$$31A-\frac{8838}{77}=-180$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{8838}{77}ని కూడండి.

$$31A=-\frac{5022}{77}$$

రెండు వైపులా 31తో భాగించండి.

$$A=-\frac{162}{77}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$