{l}{3[x-2(x-a/2)]=4x}{3x+a/12-1-5x/8=1} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 3 [ x - 2 ( x - \frac { a } { 2 } ) ] = 4 x } \\ { \frac { 3 x + a } { 12 } - \frac { 1 - 5 x } { 8 } = 1 } \end{array} \right.$$

x, aని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{81}{77} = 1\frac{4}{77} \approx 1.051948052$$

$$a = \frac{27}{11} = 2\frac{5}{11} \approx 2.454545455$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$6\left(x-2\left(x-\frac{a}{2}\right)\right)=8x$$

రెండు భాగాల నుండి 8xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6\left(x-2\left(x-\frac{a}{2}\right)\right)-8x=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$12\left(x-2\left(x-\frac{a}{2}\right)\right)-16x=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$24\left(x-2\left(x-\frac{a}{2}\right)\right)-32x=0$$

x-\frac{a}{2}తో -2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$24\left(x-2x+2\times \frac{a}{2}\right)-32x=0$$

2\times \frac{a}{2}ని ఏక భిన్నం వలె వ్యక్తీకరించండి.

$$24\left(x-2x+\frac{2a}{2}\right)-32x=0$$

2 మరియు 2ని పరిష్కరించండి.

$$24\left(x-2x+a\right)-32x=0$$

-xని పొందడం కోసం x మరియు -2xని జత చేయండి.

$$24\left(-x+a\right)-32x=0$$

-x+aతో 24ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-24x+24a-32x=0$$

-56xని పొందడం కోసం -24x మరియు -32xని జత చేయండి.

$$-56x+24a=0$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 24తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 12,8.

$$2\left(3x+a\right)-3\left(1-5x\right)=24$$

3x+aతో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$6x+2a-3\left(1-5x\right)=24$$

1-5xతో -3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$6x+2a-3+15x=24$$

21xని పొందడం కోసం 6x మరియు 15xని జత చేయండి.

$$21x+2a-3=24$$

రెండు వైపులా 3ని జోడించండి.

$$21x+2a=24+3$$

27ని పొందడం కోసం 24 మరియు 3ని కూడండి.

$$21x+2a=27$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$-56x+24a=0,21x+2a=27$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$-56x+24a=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 24aని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-56x=-24a$$

రెండు వైపులా -56తో భాగించండి.

$$x=-\frac{1}{56}\left(-24\right)a$$

-\frac{1}{56} సార్లు -24aని గుణించండి.

$$x=\frac{3}{7}a$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{3a}{7} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 21x+2a=27.

$$21\times \frac{3}{7}a+2a=27$$

21 సార్లు \frac{3a}{7}ని గుణించండి.

$$9a+2a=27$$

2aకు 9aని కూడండి.

$$11a=27$$

రెండు వైపులా 11తో భాగించండి.

$$a=\frac{27}{11}$$

x=\frac{3}{7}aలో aను \frac{27}{11} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{3}{7}\times \frac{27}{11}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{3}{7} సార్లు \frac{27}{11}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{81}{77}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{81}{77},a=\frac{27}{11}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$6\left(x-2\left(x-\frac{a}{2}\right)\right)=8x$$

రెండు భాగాల నుండి 8xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6\left(x-2\left(x-\frac{a}{2}\right)\right)-8x=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$12\left(x-2\left(x-\frac{a}{2}\right)\right)-16x=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$24\left(x-2\left(x-\frac{a}{2}\right)\right)-32x=0$$

x-\frac{a}{2}తో -2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$24\left(x-2x+2\times \frac{a}{2}\right)-32x=0$$

2\times \frac{a}{2}ని ఏక భిన్నం వలె వ్యక్తీకరించండి.

$$24\left(x-2x+\frac{2a}{2}\right)-32x=0$$

2 మరియు 2ని పరిష్కరించండి.

$$24\left(x-2x+a\right)-32x=0$$

-xని పొందడం కోసం x మరియు -2xని జత చేయండి.

$$24\left(-x+a\right)-32x=0$$

-x+aతో 24ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-24x+24a-32x=0$$

-56xని పొందడం కోసం -24x మరియు -32xని జత చేయండి.

$$-56x+24a=0$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 24తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 12,8.

$$2\left(3x+a\right)-3\left(1-5x\right)=24$$

3x+aతో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$6x+2a-3\left(1-5x\right)=24$$

1-5xతో -3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$6x+2a-3+15x=24$$

21xని పొందడం కోసం 6x మరియు 15xని జత చేయండి.

$$21x+2a-3=24$$

రెండు వైపులా 3ని జోడించండి.

$$21x+2a=24+3$$

27ని పొందడం కోసం 24 మరియు 3ని కూడండి.

$$21x+2a=27$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$-56x+24a=0,21x+2a=27$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}-56&24\\21&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\27\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-56&24\\21&2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-56&24\\21&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-56&24\\21&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-56&24\\21&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\27\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-56&24\\21&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\27\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-56&24\\21&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\27\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-56\times 2-24\times 21}&-\frac{24}{-56\times 2-24\times 21}\\-\frac{21}{-56\times 2-24\times 21}&-\frac{56}{-56\times 2-24\times 21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\27\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{308}&\frac{3}{77}\\\frac{3}{88}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\27\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{77}\times 27\\\frac{1}{11}\times 27\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{81}{77}\\\frac{27}{11}\end{matrix}\right)$$

x మరియు a మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{81}{77},a=\frac{27}{11}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$6\left(x-2\left(x-\frac{a}{2}\right)\right)=8x$$

రెండు భాగాల నుండి 8xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6\left(x-2\left(x-\frac{a}{2}\right)\right)-8x=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$12\left(x-2\left(x-\frac{a}{2}\right)\right)-16x=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$24\left(x-2\left(x-\frac{a}{2}\right)\right)-32x=0$$

x-\frac{a}{2}తో -2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$24\left(x-2x+2\times \frac{a}{2}\right)-32x=0$$

2\times \frac{a}{2}ని ఏక భిన్నం వలె వ్యక్తీకరించండి.

$$24\left(x-2x+\frac{2a}{2}\right)-32x=0$$

2 మరియు 2ని పరిష్కరించండి.

$$24\left(x-2x+a\right)-32x=0$$

-xని పొందడం కోసం x మరియు -2xని జత చేయండి.

$$24\left(-x+a\right)-32x=0$$

-x+aతో 24ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-24x+24a-32x=0$$

-56xని పొందడం కోసం -24x మరియు -32xని జత చేయండి.

$$-56x+24a=0$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 24తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 12,8.

$$2\left(3x+a\right)-3\left(1-5x\right)=24$$

3x+aతో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$6x+2a-3\left(1-5x\right)=24$$

1-5xతో -3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$6x+2a-3+15x=24$$

21xని పొందడం కోసం 6x మరియు 15xని జత చేయండి.

$$21x+2a-3=24$$

రెండు వైపులా 3ని జోడించండి.

$$21x+2a=24+3$$

27ని పొందడం కోసం 24 మరియు 3ని కూడండి.

$$21x+2a=27$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$-56x+24a=0,21x+2a=27$$

-56x మరియు 21xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 21తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను -56తో గుణించండి.

$$21\left(-56\right)x+21\times 24a=0,-56\times 21x-56\times 2a=-56\times 27$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-1176x+504a=0,-1176x-112a=-1512$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -1176x-112a=-1512ని -1176x+504a=0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-1176x+1176x+504a+112a=1512$$

1176xకు -1176xని కూడండి. -1176x మరియు 1176x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$504a+112a=1512$$

112aకు 504aని కూడండి.

$$616a=1512$$

రెండు వైపులా 616తో భాగించండి.

$$a=\frac{27}{11}$$

21x+2a=27లో aను \frac{27}{11} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$21x+2\times \frac{27}{11}=27$$

2 సార్లు \frac{27}{11}ని గుణించండి.

$$21x+\frac{54}{11}=27$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{54}{11}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$21x=\frac{243}{11}$$

రెండు వైపులా 21తో భాగించండి.

$$x=\frac{81}{77}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{81}{77},a=\frac{27}{11}$$