{l}{25x+y=9}{1.6x+0.2y=13} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 25 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{56}{17} = -3\frac{5}{17} \approx -3.294117647$$

$$y = \frac{1553}{17} = 91\frac{6}{17} \approx 91.352941176$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$25x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$25x+y=9$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$25x=-y+9$$

రెండు వైపులా 25తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{25}\left(-y+9\right)$$

\frac{1}{25} సార్లు -y+9ని గుణించండి.

$$x=-\frac{1}{25}y+\frac{9}{25}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-y+9}{25} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 1.6x+0.2y=13.

$$1.6\left(-\frac{1}{25}y+\frac{9}{25}\right)+0.2y=13$$

1.6 సార్లు \frac{-y+9}{25}ని గుణించండి.

$$-\frac{8}{125}y+\frac{72}{125}+0.2y=13$$

\frac{y}{5}కు -\frac{8y}{125}ని కూడండి.

$$\frac{17}{125}y+\frac{72}{125}=13$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{72}{125}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{17}{125}y=\frac{1553}{125}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{17}{125}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{1553}{17}$$

x=-\frac{1}{25}y+\frac{9}{25}లో yను \frac{1553}{17} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{1}{25}\times \frac{1553}{17}+\frac{9}{25}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{1}{25} సార్లు \frac{1553}{17}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{1553}{425}+\frac{9}{25}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{1553}{425}కు \frac{9}{25}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{56}{17}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{56}{17},y=\frac{1553}{17}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$25x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{25\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{25\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{25\times 0.2-1.6}&\frac{25}{25\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&-\frac{5}{17}\\-\frac{8}{17}&\frac{125}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\times 9-\frac{5}{17}\times 13\\-\frac{8}{17}\times 9+\frac{125}{17}\times 13\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{56}{17}\\\frac{1553}{17}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-\frac{56}{17},y=\frac{1553}{17}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$25x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

25x మరియు \frac{8x}{5}ని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1.6తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 25తో గుణించండి.

$$1.6\times 25x+1.6y=1.6\times 9,25\times 1.6x+25\times 0.2y=25\times 13$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$40x+1.6y=14.4,40x+5y=325$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 40x+5y=325ని 40x+1.6y=14.4 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$40x-40x+1.6y-5y=14.4-325$$

-40xకు 40xని కూడండి. 40x మరియు -40x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$1.6y-5y=14.4-325$$

-5yకు \frac{8y}{5}ని కూడండి.

$$-3.4y=14.4-325$$

-325కు 14.4ని కూడండి.

$$-3.4y=-310.6$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -3.4తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{1553}{17}$$

1.6x+0.2y=13లో yను \frac{1553}{17} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$1.6x+0.2\times \frac{1553}{17}=13$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా 0.2 సార్లు \frac{1553}{17}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$1.6x+\frac{1553}{85}=13$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{1553}{85}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$1.6x=-\frac{448}{85}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 1.6తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$x=-\frac{56}{17}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{56}{17},y=\frac{1553}{17}$$