{l}{20x+30y=50}{x/2+y/3=5/3} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 20 x + 30 y = 50 } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 3 } = \frac { 5 } { 3 } } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=4$$

$$y=-1$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$20x+30y=50,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=\frac{5}{3}$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$20x+30y=50$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 30yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$20x=-30y+50$$

రెండు వైపులా 20తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{20}\left(-30y+50\right)$$

\frac{1}{20} సార్లు -30y+50ని గుణించండి.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-3y+5}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=\frac{5}{3}.

$$\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)+\frac{1}{3}y=\frac{5}{3}$$

\frac{1}{2} సార్లు \frac{-3y+5}{2}ని గుణించండి.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}+\frac{1}{3}y=\frac{5}{3}$$

\frac{y}{3}కు -\frac{3y}{4}ని కూడండి.

$$-\frac{5}{12}y+\frac{5}{4}=\frac{5}{3}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{5}{4}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{5}{12}y=\frac{5}{12}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{5}{12}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-1$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}లో yను -1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-1\right)+\frac{5}{2}$$

-\frac{3}{2} సార్లు -1ని గుణించండి.

$$x=\frac{3+5}{2}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{3}{2}కు \frac{5}{2}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=4$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=4,y=-1$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$20x+30y=50,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=\frac{5}{3}$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}20&30\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}20&30\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}20&30\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20&30\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&30\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&30\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&30\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{20\times \frac{1}{3}-30\times \frac{1}{2}}&-\frac{30}{20\times \frac{1}{3}-30\times \frac{1}{2}}\\-\frac{\frac{1}{2}}{20\times \frac{1}{3}-30\times \frac{1}{2}}&\frac{20}{20\times \frac{1}{3}-30\times \frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}&\frac{18}{5}\\\frac{3}{50}&-\frac{12}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}\times 50+\frac{18}{5}\times \frac{5}{3}\\\frac{3}{50}\times 50-\frac{12}{5}\times \frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=4,y=-1$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$20x+30y=50,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=\frac{5}{3}$$

20x మరియు \frac{x}{2}ని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను \frac{1}{2}తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 20తో గుణించండి.

$$\frac{1}{2}\times 20x+\frac{1}{2}\times 30y=\frac{1}{2}\times 50,20\times \frac{1}{2}x+20\times \frac{1}{3}y=20\times \frac{5}{3}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$10x+15y=25,10x+\frac{20}{3}y=\frac{100}{3}$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 10x+\frac{20}{3}y=\frac{100}{3}ని 10x+15y=25 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$10x-10x+15y-\frac{20}{3}y=25-\frac{100}{3}$$

-10xకు 10xని కూడండి. 10x మరియు -10x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$15y-\frac{20}{3}y=25-\frac{100}{3}$$

-\frac{20y}{3}కు 15yని కూడండి.

$$\frac{25}{3}y=25-\frac{100}{3}$$

-\frac{100}{3}కు 25ని కూడండి.

$$\frac{25}{3}y=-\frac{25}{3}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{25}{3}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-1$$

\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=\frac{5}{3}లో yను -1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}\left(-1\right)=\frac{5}{3}$$

\frac{1}{3} సార్లు -1ని గుణించండి.

$$\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{1}{3}ని కూడండి.

$$\frac{1}{2}x=2$$

రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$x=4$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=4,y=-1$$