{l}{2x_{1}+3x_{2}=7}{4x_{1}-4x_{2}=-6} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 7 } \\ { 4 x _ { 1 } - 4 x _ { 2 } = - 6 } \end{array} \right.$$

x_1, x_2ని పరిష్కరించండి

$$x_{1}=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x_{2}=2$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న x_{1}ని వేరు చేయడం ద్వారా x_{1}ని పరిష్కరించండి.

$$2x_{1}+3x_{2}=7$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3x_{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x_{1}=-3x_{2}+7$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(-3x_{2}+7\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు -3x_{2}+7ని గుణించండి.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}$$

మరొక సమీకరణములో x_{1}ను \frac{-3x_{2}+7}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 4x_{1}-4x_{2}=-6.

$$4\left(-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}\right)-4x_{2}=-6$$

4 సార్లు \frac{-3x_{2}+7}{2}ని గుణించండి.

$$-6x_{2}+14-4x_{2}=-6$$

-4x_{2}కు -6x_{2}ని కూడండి.

$$-10x_{2}+14=-6$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 14ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-10x_{2}=-20$$

రెండు వైపులా -10తో భాగించండి.

$$x_{2}=2$$

x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}లో x_{2}ను 2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు x_{1}ని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}\times 2+\frac{7}{2}$$

-\frac{3}{2} సార్లు 2ని గుణించండి.

$$x_{1}=-3+\frac{7}{2}$$

-3కు \frac{7}{2}ని కూడండి.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాత్రికకు సంబంధించి \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), విలోమ మాత్రిక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) అయితే, మాత్రిక సమీకరణాన్ని మాత్రిక గుణాకార సమస్య వలె తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{3}{20}\left(-6\right)\\\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{10}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

x_{1} మరియు x_{2} మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

2x_{1} మరియు 4x_{1}ని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$4\times 2x_{1}+4\times 3x_{2}=4\times 7,2\times 4x_{1}+2\left(-4\right)x_{2}=2\left(-6\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$8x_{1}+12x_{2}=28,8x_{1}-8x_{2}=-12$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 8x_{1}-8x_{2}=-12ని 8x_{1}+12x_{2}=28 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$8x_{1}-8x_{1}+12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

-8x_{1}కు 8x_{1}ని కూడండి. 8x_{1} మరియు -8x_{1} విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

8x_{2}కు 12x_{2}ని కూడండి.

$$20x_{2}=28+12$$

12కు 28ని కూడండి.

$$20x_{2}=40$$

రెండు వైపులా 20తో భాగించండి.

$$x_{2}=2$$

4x_{1}-4x_{2}=-6లో x_{2}ను 2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు x_{1}ని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$4x_{1}-4\times 2=-6$$

-4 సార్లు 2ని గుణించండి.

$$4x_{1}-8=-6$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 8ని కూడండి.

$$4x_{1}=2$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$