{l}{2x-y=4}{3x+y=1} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 4 } \\ { 3 x + y = 1 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=1$$

$$y=-2$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x-y=4,3x+y=1$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2x-y=4$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా yని కూడండి.

$$2x=y+4$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+4\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు y+4ని గుణించండి.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{y}{2}+2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 3x+y=1.

$$3\left(\frac{1}{2}y+2\right)+y=1$$

3 సార్లు \frac{y}{2}+2ని గుణించండి.

$$\frac{3}{2}y+6+y=1$$

yకు \frac{3y}{2}ని కూడండి.

$$\frac{5}{2}y+6=1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 6ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{5}{2}y=-5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{5}{2}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-2$$

x=\frac{1}{2}y+2లో yను -2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2\right)+2$$

\frac{1}{2} సార్లు -2ని గుణించండి.

$$x=-1+2$$

-1కు 2ని కూడండి.

$$x=1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=1,y=-2$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x-y=4,3x+y=1$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-1\\3&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 4+\frac{1}{5}\\-\frac{3}{5}\times 4+\frac{2}{5}\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=1,y=-2$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x-y=4,3x+y=1$$

2x మరియు 3xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 4,2\times 3x+2y=2$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$6x-3y=12,6x+2y=2$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 6x+2y=2ని 6x-3y=12 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x-6x-3y-2y=12-2$$

-6xకు 6xని కూడండి. 6x మరియు -6x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-3y-2y=12-2$$

-2yకు -3yని కూడండి.

$$-5y=12-2$$

-2కు 12ని కూడండి.

$$-5y=10$$

రెండు వైపులా -5తో భాగించండి.

$$y=-2$$

3x+y=1లో yను -2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$3x-2=1$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2ని కూడండి.

$$3x=3$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=1,y=-2$$