{l}{2x-9y=51}{-9x-5y=-2} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 9 y = 51 } \\ { - 9 x - 5 y = - 2 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=3$$

$$y=-5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x-9y=51,-9x-5y=-2$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2x-9y=51$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 9yని కూడండి.

$$2x=9y+51$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2}\left(9y+51\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు 9y+51ని గుణించండి.

$$x=\frac{9}{2}y+\frac{51}{2}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{9y+51}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -9x-5y=-2.

$$-9\left(\frac{9}{2}y+\frac{51}{2}\right)-5y=-2$$

-9 సార్లు \frac{9y+51}{2}ని గుణించండి.

$$-\frac{81}{2}y-\frac{459}{2}-5y=-2$$

-5yకు -\frac{81y}{2}ని కూడండి.

$$-\frac{91}{2}y-\frac{459}{2}=-2$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{459}{2}ని కూడండి.

$$-\frac{91}{2}y=\frac{455}{2}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{91}{2}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-5$$

x=\frac{9}{2}y+\frac{51}{2}లో yను -5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{9}{2}\left(-5\right)+\frac{51}{2}$$

\frac{9}{2} సార్లు -5ని గుణించండి.

$$x=\frac{-45+51}{2}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{45}{2}కు \frac{51}{2}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=3$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=3,y=-5$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x-9y=51,-9x-5y=-2$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&-9\\-9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}51\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-9\\-9&-5\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-9\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-9\\-9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-9\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}51\\-2\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-9\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}51\\-2\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-9\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}51\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-\left(-9\left(-9\right)\right)}&-\frac{-9}{2\left(-5\right)-\left(-9\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{2\left(-5\right)-\left(-9\left(-9\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-5\right)-\left(-9\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}51\\-2\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{91}&-\frac{9}{91}\\-\frac{9}{91}&-\frac{2}{91}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}51\\-2\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{91}\times 51-\frac{9}{91}\left(-2\right)\\-\frac{9}{91}\times 51-\frac{2}{91}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-5\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=3,y=-5$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x-9y=51,-9x-5y=-2$$

2x మరియు -9xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -9తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$-9\times 2x-9\left(-9\right)y=-9\times 51,2\left(-9\right)x+2\left(-5\right)y=2\left(-2\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-18x+81y=-459,-18x-10y=-4$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -18x-10y=-4ని -18x+81y=-459 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-18x+18x+81y+10y=-459+4$$

18xకు -18xని కూడండి. -18x మరియు 18x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$81y+10y=-459+4$$

10yకు 81yని కూడండి.

$$91y=-459+4$$

4కు -459ని కూడండి.

$$91y=-455$$

రెండు వైపులా 91తో భాగించండి.

$$y=-5$$

-9x-5y=-2లో yను -5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-9x-5\left(-5\right)=-2$$

-5 సార్లు -5ని గుణించండి.

$$-9x+25=-2$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 25ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-9x=-27$$

రెండు వైపులా -9తో భాగించండి.

$$x=3$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=3,y=-5$$