{l}{2x-5y=10}{4x+y=15} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 10 } \\ { 4 x + y = 15 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{85}{22} = 3\frac{19}{22} \approx 3.863636364$$

$$y=-\frac{5}{11}\approx -0.454545455$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x-5y=10,4x+y=15$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2x-5y=10$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 5yని కూడండి.

$$2x=5y+10$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+10\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు 10+5yని గుణించండి.

$$x=\frac{5}{2}y+5$$

మరొక సమీకరణములో xను 5+\frac{5y}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 4x+y=15.

$$4\left(\frac{5}{2}y+5\right)+y=15$$

4 సార్లు 5+\frac{5y}{2}ని గుణించండి.

$$10y+20+y=15$$

yకు 10yని కూడండి.

$$11y+20=15$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 20ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$11y=-5$$

రెండు వైపులా 11తో భాగించండి.

$$y=-\frac{5}{11}$$

x=\frac{5}{2}y+5లో yను -\frac{5}{11} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{5}{2}\left(-\frac{5}{11}\right)+5$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{5}{2} సార్లు -\frac{5}{11}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{25}{22}+5$$

-\frac{25}{22}కు 5ని కూడండి.

$$x=\frac{85}{22}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{85}{22},y=-\frac{5}{11}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x-5y=10,4x+y=15$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}\times 10+\frac{5}{22}\times 15\\-\frac{2}{11}\times 10+\frac{1}{11}\times 15\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{85}{22}\\-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{85}{22},y=-\frac{5}{11}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x-5y=10,4x+y=15$$

2x మరియు 4xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$4\times 2x+4\left(-5\right)y=4\times 10,2\times 4x+2y=2\times 15$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$8x-20y=40,8x+2y=30$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 8x+2y=30ని 8x-20y=40 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$8x-8x-20y-2y=40-30$$

-8xకు 8xని కూడండి. 8x మరియు -8x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-20y-2y=40-30$$

-2yకు -20yని కూడండి.

$$-22y=40-30$$

-30కు 40ని కూడండి.

$$-22y=10$$

రెండు వైపులా -22తో భాగించండి.

$$y=-\frac{5}{11}$$

4x+y=15లో yను -\frac{5}{11} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$4x-\frac{5}{11}=15$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{5}{11}ని కూడండి.

$$4x=\frac{170}{11}$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=\frac{85}{22}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{85}{22},y=-\frac{5}{11}$$