{l}{2x-4y=10}{6x-4y=11} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 4 y = 10 } \\ { 6 x - 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y = -\frac{19}{8} = -2\frac{3}{8} = -2.375$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2x-4y=10$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 4yని కూడండి.

$$2x=4y+10$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2}\left(4y+10\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు 4y+10ని గుణించండి.

$$x=2y+5$$

మరొక సమీకరణములో xను 2y+5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 6x-4y=11.

$$6\left(2y+5\right)-4y=11$$

6 సార్లు 2y+5ని గుణించండి.

$$12y+30-4y=11$$

-4yకు 12yని కూడండి.

$$8y+30=11$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 30ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$8y=-19$$

రెండు వైపులా 8తో భాగించండి.

$$y=-\frac{19}{8}$$

x=2y+5లో yను -\frac{19}{8} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=2\left(-\frac{19}{8}\right)+5$$

2 సార్లు -\frac{19}{8}ని గుణించండి.

$$x=-\frac{19}{4}+5$$

-\frac{19}{4}కు 5ని కూడండి.

$$x=\frac{1}{4}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}&-\frac{-4}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}\\-\frac{6}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 10+\frac{1}{4}\times 11\\-\frac{3}{8}\times 10+\frac{1}{8}\times 11\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\-\frac{19}{8}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 6x-4y=11ని 2x-4y=10 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-6x-4y+4y=10-11$$

4yకు -4yని కూడండి. -4y మరియు 4y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$2x-6x=10-11$$

-6xకు 2xని కూడండి.

$$-4x=10-11$$

-11కు 10ని కూడండి.

$$-4x=-1$$

రెండు వైపులా -4తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{4}$$

6x-4y=11లో xను \frac{1}{4} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$6\times \frac{1}{4}-4y=11$$

6 సార్లు \frac{1}{4}ని గుణించండి.

$$\frac{3}{2}-4y=11$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{3}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-4y=\frac{19}{2}$$

రెండు వైపులా -4తో భాగించండి.

$$y=-\frac{19}{8}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$