{l}{2x-19y=-10}{19x-18y=13} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 19 y = - 10 } \\ { 19 x - 18 y = 13 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{427}{325} = 1\frac{102}{325} \approx 1.313846154$$

$$y=\frac{216}{325}\approx 0.664615385$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x-19y=-10,19x-18y=13$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2x-19y=-10$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 19yని కూడండి.

$$2x=19y-10$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2}\left(19y-10\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు 19y-10ని గుణించండి.

$$x=\frac{19}{2}y-5$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{19y}{2}-5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 19x-18y=13.

$$19\left(\frac{19}{2}y-5\right)-18y=13$$

19 సార్లు \frac{19y}{2}-5ని గుణించండి.

$$\frac{361}{2}y-95-18y=13$$

-18yకు \frac{361y}{2}ని కూడండి.

$$\frac{325}{2}y-95=13$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 95ని కూడండి.

$$\frac{325}{2}y=108$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{325}{2}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{216}{325}$$

x=\frac{19}{2}y-5లో yను \frac{216}{325} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{19}{2}\times \frac{216}{325}-5$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{19}{2} సార్లు \frac{216}{325}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{2052}{325}-5$$

\frac{2052}{325}కు -5ని కూడండి.

$$x=\frac{427}{325}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{427}{325},y=\frac{216}{325}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x-19y=-10,19x-18y=13$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\13\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\13\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{2\left(-18\right)-\left(-19\times 19\right)}&-\frac{-19}{2\left(-18\right)-\left(-19\times 19\right)}\\-\frac{19}{2\left(-18\right)-\left(-19\times 19\right)}&\frac{2}{2\left(-18\right)-\left(-19\times 19\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\13\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{325}&\frac{19}{325}\\-\frac{19}{325}&\frac{2}{325}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\13\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{325}\left(-10\right)+\frac{19}{325}\times 13\\-\frac{19}{325}\left(-10\right)+\frac{2}{325}\times 13\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{427}{325}\\\frac{216}{325}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{427}{325},y=\frac{216}{325}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x-19y=-10,19x-18y=13$$

2x మరియు 19xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 19తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$19\times 2x+19\left(-19\right)y=19\left(-10\right),2\times 19x+2\left(-18\right)y=2\times 13$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$38x-361y=-190,38x-36y=26$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 38x-36y=26ని 38x-361y=-190 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$38x-38x-361y+36y=-190-26$$

-38xకు 38xని కూడండి. 38x మరియు -38x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-361y+36y=-190-26$$

36yకు -361yని కూడండి.

$$-325y=-190-26$$

-26కు -190ని కూడండి.

$$-325y=-216$$

రెండు వైపులా -325తో భాగించండి.

$$y=\frac{216}{325}$$

19x-18y=13లో yను \frac{216}{325} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$19x-18\times \frac{216}{325}=13$$

-18 సార్లు \frac{216}{325}ని గుణించండి.

$$19x-\frac{3888}{325}=13$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{3888}{325}ని కూడండి.

$$19x=\frac{8113}{325}$$

రెండు వైపులా 19తో భాగించండి.

$$x=\frac{427}{325}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{427}{325},y=\frac{216}{325}$$