{l}{2x+y=20}{5y+3x=10} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 20 } \\ { 5 y + 3 x = 10 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{90}{7} = 12\frac{6}{7} \approx 12.857142857$$

$$y = -\frac{40}{7} = -5\frac{5}{7} \approx -5.714285714$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x+y=20,3x+5y=10$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2x+y=20$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x=-y+20$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+20\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు -y+20ని గుణించండి.

$$x=-\frac{1}{2}y+10$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{y}{2}+10 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 3x+5y=10.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+10\right)+5y=10$$

3 సార్లు -\frac{y}{2}+10ని గుణించండి.

$$-\frac{3}{2}y+30+5y=10$$

5yకు -\frac{3y}{2}ని కూడండి.

$$\frac{7}{2}y+30=10$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 30ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{7}{2}y=-20$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{7}{2}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-\frac{40}{7}$$

x=-\frac{1}{2}y+10లో yను -\frac{40}{7} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{40}{7}\right)+10$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{1}{2} సార్లు -\frac{40}{7}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{20}{7}+10$$

\frac{20}{7}కు 10ని కూడండి.

$$x=\frac{90}{7}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{90}{7},y=-\frac{40}{7}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x+y=20,3x+5y=10$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3}&-\frac{1}{2\times 5-3}\\-\frac{3}{2\times 5-3}&\frac{2}{2\times 5-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\times 20-\frac{1}{7}\times 10\\-\frac{3}{7}\times 20+\frac{2}{7}\times 10\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{90}{7}\\-\frac{40}{7}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{90}{7},y=-\frac{40}{7}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x+y=20,3x+5y=10$$

2x మరియు 3xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$3\times 2x+3y=3\times 20,2\times 3x+2\times 5y=2\times 10$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$6x+3y=60,6x+10y=20$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 6x+10y=20ని 6x+3y=60 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x-6x+3y-10y=60-20$$

-6xకు 6xని కూడండి. 6x మరియు -6x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$3y-10y=60-20$$

-10yకు 3yని కూడండి.

$$-7y=60-20$$

-20కు 60ని కూడండి.

$$-7y=40$$

రెండు వైపులా -7తో భాగించండి.

$$y=-\frac{40}{7}$$

3x+5y=10లో yను -\frac{40}{7} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$3x+5\left(-\frac{40}{7}\right)=10$$

5 సార్లు -\frac{40}{7}ని గుణించండి.

$$3x-\frac{200}{7}=10$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{200}{7}ని కూడండి.

$$3x=\frac{270}{7}$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=\frac{90}{7}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{90}{7},y=-\frac{40}{7}$$