{l}{2x+5y=0}{x+2y=2} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 0 } \\ { x + 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=10$$

$$y=-4$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x+5y=0,x+2y=2$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2x+5y=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 5yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x=-5y$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5\right)y$$

\frac{1}{2} సార్లు -5yని గుణించండి.

$$x=-\frac{5}{2}y$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{5y}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x+2y=2.

$$-\frac{5}{2}y+2y=2$$

2yకు -\frac{5y}{2}ని కూడండి.

$$-\frac{1}{2}y=2$$

రెండు వైపులా -2తో గుణించండి.

$$y=-4$$

x=-\frac{5}{2}yలో yను -4 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-4\right)$$

-\frac{5}{2} సార్లు -4ని గుణించండి.

$$x=10$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=10,y=-4$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x+5y=0,x+2y=2$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&5\\1&2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-5}&-\frac{5}{2\times 2-5}\\-\frac{1}{2\times 2-5}&\frac{2}{2\times 2-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 2\\-2\times 2\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=10,y=-4$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x+5y=0,x+2y=2$$

2x మరియు xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$2x+5y=0,2x+2\times 2y=2\times 2$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$2x+5y=0,2x+4y=4$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 2x+4y=4ని 2x+5y=0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-2x+5y-4y=-4$$

-2xకు 2xని కూడండి. 2x మరియు -2x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$5y-4y=-4$$

-4yకు 5yని కూడండి.

$$y=-4$$

x+2y=2లో yను -4 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x+2\left(-4\right)=2$$

2 సార్లు -4ని గుణించండి.

$$x-8=2$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 8ని కూడండి.

$$x=10$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=10,y=-4$$