{l}{2x+3y=12}{4x+y=14} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 12 } \\ { 4 x + y = 14 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=3$$

$$y=2$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x+3y=12,4x+y=14$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2x+3y=12$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x=-3y+12$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+12\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు -3y+12ని గుణించండి.

$$x=-\frac{3}{2}y+6$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{3y}{2}+6 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 4x+y=14.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+6\right)+y=14$$

4 సార్లు -\frac{3y}{2}+6ని గుణించండి.

$$-6y+24+y=14$$

yకు -6yని కూడండి.

$$-5y+24=14$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 24ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-5y=-10$$

రెండు వైపులా -5తో భాగించండి.

$$y=2$$

x=-\frac{3}{2}y+6లో yను 2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{3}{2}\times 2+6$$

-\frac{3}{2} సార్లు 2ని గుణించండి.

$$x=-3+6$$

-3కు 6ని కూడండి.

$$x=3$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=3,y=2$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x+3y=12,4x+y=14$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\14\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\14\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\times 4}&-\frac{3}{2-3\times 4}\\-\frac{4}{2-3\times 4}&\frac{2}{2-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\14\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\14\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 12+\frac{3}{10}\times 14\\\frac{2}{5}\times 12-\frac{1}{5}\times 14\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=3,y=2$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x+3y=12,4x+y=14$$

2x మరియు 4xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 12,2\times 4x+2y=2\times 14$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$8x+12y=48,8x+2y=28$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 8x+2y=28ని 8x+12y=48 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$8x-8x+12y-2y=48-28$$

-8xకు 8xని కూడండి. 8x మరియు -8x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$12y-2y=48-28$$

-2yకు 12yని కూడండి.

$$10y=48-28$$

-28కు 48ని కూడండి.

$$10y=20$$

రెండు వైపులా 10తో భాగించండి.

$$y=2$$

4x+y=14లో yను 2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$4x+2=14$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x=12$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=3$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=3,y=2$$