{l}{2x+3y=10}{5x+3y=15} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 10 } \\ { 5 x + 3 y = 15 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y = \frac{20}{9} = 2\frac{2}{9} \approx 2.222222222$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x+3y=10,5x+3y=15$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2x+3y=10$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x=-3y+10$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు -3y+10ని గుణించండి.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{3y}{2}+5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 5x+3y=15.

$$5\left(-\frac{3}{2}y+5\right)+3y=15$$

5 సార్లు -\frac{3y}{2}+5ని గుణించండి.

$$-\frac{15}{2}y+25+3y=15$$

3yకు -\frac{15y}{2}ని కూడండి.

$$-\frac{9}{2}y+25=15$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 25ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{9}{2}y=-10$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{9}{2}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{20}{9}$$

x=-\frac{3}{2}y+5లో yను \frac{20}{9} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{20}{9}+5$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{3}{2} సార్లు \frac{20}{9}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{10}{3}+5$$

-\frac{10}{3}కు 5ని కూడండి.

$$x=\frac{5}{3}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{20}{9}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x+3y=10,5x+3y=15$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\5&3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\times 5}&-\frac{3}{2\times 3-3\times 5}\\-\frac{5}{2\times 3-3\times 5}&\frac{2}{2\times 3-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{5}{9}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 10+\frac{1}{3}\times 15\\\frac{5}{9}\times 10-\frac{2}{9}\times 15\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{20}{9}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{20}{9}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x+3y=10,5x+3y=15$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 5x+3y=15ని 2x+3y=10 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-5x+3y-3y=10-15$$

-3yకు 3yని కూడండి. 3y మరియు -3y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$2x-5x=10-15$$

-5xకు 2xని కూడండి.

$$-3x=10-15$$

-15కు 10ని కూడండి.

$$-3x=-5$$

రెండు వైపులా -3తో భాగించండి.

$$x=\frac{5}{3}$$

5x+3y=15లో xను \frac{5}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$5\times \frac{5}{3}+3y=15$$

5 సార్లు \frac{5}{3}ని గుణించండి.

$$\frac{25}{3}+3y=15$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{25}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3y=\frac{20}{3}$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$y=\frac{20}{9}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{20}{9}$$