{l}{2w+1n=5050}{3w+2n=9050} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 2 w + 1 n = 5050 } \\ { 3 w + 2 n = 9050 } \end{array} \right.$$

w, nని పరిష్కరించండి

$$w=1050$$

$$n=2950$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2w+n=5050,3w+2n=9050$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న wని వేరు చేయడం ద్వారా wని పరిష్కరించండి.

$$2w+n=5050$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి nని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2w=-n+5050$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$w=\frac{1}{2}\left(-n+5050\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు -n+5050ని గుణించండి.

$$w=-\frac{1}{2}n+2525$$

మరొక సమీకరణములో wను -\frac{n}{2}+2525 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 3w+2n=9050.

$$3\left(-\frac{1}{2}n+2525\right)+2n=9050$$

3 సార్లు -\frac{n}{2}+2525ని గుణించండి.

$$-\frac{3}{2}n+7575+2n=9050$$

2nకు -\frac{3n}{2}ని కూడండి.

$$\frac{1}{2}n+7575=9050$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 7575ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{1}{2}n=1475$$

రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$n=2950$$

w=-\frac{1}{2}n+2525లో nను 2950 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు wని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$w=-\frac{1}{2}\times 2950+2525$$

-\frac{1}{2} సార్లు 2950ని గుణించండి.

$$w=-1475+2525$$

-1475కు 2525ని కూడండి.

$$w=1050$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$w=1050,n=2950$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2w+n=5050,3w+2n=9050$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{1}{2\times 2-3}\\-\frac{3}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 5050-9050\\-3\times 5050+2\times 9050\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1050\\2950\end{matrix}\right)$$

w మరియు n మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$w=1050,n=2950$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2w+n=5050,3w+2n=9050$$

2w మరియు 3wని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$3\times 2w+3n=3\times 5050,2\times 3w+2\times 2n=2\times 9050$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$6w+3n=15150,6w+4n=18100$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 6w+4n=18100ని 6w+3n=15150 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$6w-6w+3n-4n=15150-18100$$

-6wకు 6wని కూడండి. 6w మరియు -6w విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$3n-4n=15150-18100$$

-4nకు 3nని కూడండి.

$$-n=15150-18100$$

-18100కు 15150ని కూడండి.

$$-n=-2950$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$n=2950$$

3w+2n=9050లో nను 2950 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు wని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$3w+2\times 2950=9050$$

2 సార్లు 2950ని గుణించండి.

$$3w+5900=9050$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 5900ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3w=3150$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$w=1050$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$w=1050,n=2950$$