{l}{2u+3v=8}{3u+4v=-3} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 2 u + 3 v = 8 } \\ { 3 u + 4 v = - 3 } \end{array} \right.$$

u, vని పరిష్కరించండి

$$u=-41$$

$$v=30$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2u+3v=8,3u+4v=-3$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న uని వేరు చేయడం ద్వారా uని పరిష్కరించండి.

$$2u+3v=8$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3vని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2u=-3v+8$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$u=\frac{1}{2}\left(-3v+8\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు -3v+8ని గుణించండి.

$$u=-\frac{3}{2}v+4$$

మరొక సమీకరణములో uను -\frac{3v}{2}+4 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 3u+4v=-3.

$$3\left(-\frac{3}{2}v+4\right)+4v=-3$$

3 సార్లు -\frac{3v}{2}+4ని గుణించండి.

$$-\frac{9}{2}v+12+4v=-3$$

4vకు -\frac{9v}{2}ని కూడండి.

$$-\frac{1}{2}v+12=-3$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 12ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{1}{2}v=-15$$

రెండు వైపులా -2తో గుణించండి.

$$v=30$$

u=-\frac{3}{2}v+4లో vను 30 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు uని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$u=-\frac{3}{2}\times 30+4$$

-\frac{3}{2} సార్లు 30ని గుణించండి.

$$u=-45+4$$

-45కు 4ని కూడండి.

$$u=-41$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$u=-41,v=30$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2u+3v=8,3u+4v=-3$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 4-3\times 3}&\frac{2}{2\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\times 8+3\left(-3\right)\\3\times 8-2\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-41\\30\end{matrix}\right)$$

u మరియు v మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$u=-41,v=30$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2u+3v=8,3u+4v=-3$$

2u మరియు 3uని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$3\times 2u+3\times 3v=3\times 8,2\times 3u+2\times 4v=2\left(-3\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$6u+9v=24,6u+8v=-6$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 6u+8v=-6ని 6u+9v=24 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$6u-6u+9v-8v=24+6$$

-6uకు 6uని కూడండి. 6u మరియు -6u విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$9v-8v=24+6$$

-8vకు 9vని కూడండి.

$$v=24+6$$

6కు 24ని కూడండి.

$$v=30$$

3u+4v=-3లో vను 30 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు uని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$3u+4\times 30=-3$$

4 సార్లు 30ని గుణించండి.

$$3u+120=-3$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 120ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3u=-123$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$u=-41$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$u=-41,v=30$$